算法设计与分析 最大子矩阵和（DP动态规划）

【题目】 
给定一个矩阵 matrix，其中矩阵中的元素可以包含正数、负数、和0，返回子矩阵的最大累加和。例如，矩阵 matrix 为： 
0 -2 -7 0 
9 2 -6 2 
-4 1 -4 1 
-1 8 0 -2 
拥有最大和的子矩阵为： 
9 2 
-4 1 
-1 8 
其和为15。
【分析】

最大子矩阵和可以转化成几行几列的最大子段和问题
即把二维的压缩成一维的问题去解决
 

       a[1][1]　　a[1][2]　　······　　a[1][i]　　······　　a[1][j] 　　······　　a[1][n]

　　a[2][1]　　a[2][2]　　······　　a[2][i]　　······　　a[2][j]　　 ······　　a[2][n]

　　　　　　　　　　　　　　　　　　······

　　a[q][1]　　a[q][2]　　······　　a[q][i]　　······　　a[q][j]　　······　　a[q][n]

　　　　　　　　　　　　　　　　　　······

　　a[p][1]　　a[p][2]　　······　　a[p][i]　　······　　a[p][j]　　······　　a[p][n]

　　　　　　　　　　　　　　　　　　······

　　a[n][1]　　a[n][2]　　······　　a[n][i]　　······　　a[n][j]　　······　　a[n][n]

最大子矩阵和就是矩阵中红色的子矩阵。
将问题转化成取矩阵的第q行到第p行，列取第i列到第j列，将其内（p-q+1）*（j-i+1）个元素和看成一个一位数组a[q][i]+······+a[p][i] , ······ ，a[q][j]+······+a[p][j]的和。这样问题就转化成如何在n*m的矩阵中分离出第q行到第p行，第i列到第j列，于是有代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int Maxsub(int a[],int n)
{
    int Max=0,temp=0;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        if(temp>0)
            temp+=a[i];
        else
            temp=a[i];
        Max=max(Max,temp);
    }
    return Max;
}
int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    int dp[100][100];
    for(int i=0;i<n;i++)
        for(int j=0;j<m;j++)
        cin>>dp[i][j];
    int arr[100];
    int Maxarr=0,Maxmat=0;
    for(int i=0;i<n;i++)//从第i行
    {
        memset(arr,0,sizeof(arr));
        for(int j=i;j<n;j++)//到第j行
        {
            for(int k=0;k<m;k++)
                arr[k]+=dp[j][k];
            Maxarr=Maxsub(arr,m);
            Maxmat=max(Maxmat,Maxarr);
        }
    }
    cout<<Maxmat<<endl;
    return 0;
}