算法的时间复杂度和空间复杂度

1、时间复杂度

1.1基本介绍

1. 一般情况下，算法中的基本操作语句的重复执行次数时问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若是某个辅助函数f(n)，使得当n趋近于无穷大时，T(n)/f(n)的极限值为不等于零的常数,则称f(n)是T(n)的同数量级函数，记作T(n)=O(f(n))为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。
2. T(n)不同，但时间复杂度可能相同。
   例如：T(n)=n²+7n+6 与 T(n)=3n²+2n+2他们的T(n)不同，但时间复杂度相同，都是O(n²)
3. 计算时间复杂度的方法：
   • 用常数1替代运行时间中所有加法常数。T(n)=3n²+2n+2 => T(n)=3n²+2n+1
   • 修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。T(n)=3n²+2n+1 => T(n)=3n²
   • 去掉最高阶的系数。T(n)=3n² => T(n)=n² =O(n²)

1.2 常见的时间复杂度

1. 常数阶 O(1)
无论代码执行了多少行，只要没有循环等复杂结构，这个代码的时间复杂度就都是O(1)。

int i=1;
int j=2;
int m=i+j;

2. 对数阶 O(log₂n)
O(log₂n)的这个2是根据代码变化的。如果i=i*3;，则是O(log₃n)。
提示:如果N = a^x(a>0,a ≠1)，即a的x次方等于N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数（logarithm),记作x = log_aN。其中，a叫做对数的底数，N叫做真数，x叫做"以a为底N的对数。

int i=1;
while(i<n){
	i=i*2;
}

3. 线性阶 O(n)
for里面的代码会执行n遍，因此它消耗的时间是随着n的变化而变化的，因此这类代码都可以用O(n)来表示它的时间复杂度。

for(int i=1;i<=n;i++){
	j=i;
	j++;
}

4. 线性对数阶O(nlog₂n)
线性对数阶O(nlog₂n)其实非常容易理解，将时间复杂度为O(log₂n)的代码循环N遍的话，那么它的时间复杂度就是n *O(log₂n)，也就是了O(nlog₂n)。

for(int m=1;m<n;m++){
	i=1;
	while(i<n){
		i=i*2;
	}
}

5. 平方阶 O(n²)
就是嵌套了2层n循环。

for(int i=1;i<=n;i++){
	for(int j=1;j<=n;j++){
		sum=i+j;
	}
}

6. 立方阶 O(n³)
就是嵌套了3层n循环。
7. K次方阶 O(n^k)
就是嵌套了k层n循环。
8. 指数阶 O(2ⁿ)

常见的算法时间度由小到大依次为：
O(1) < O(log₂n) < O(n) < O(nlog₂n) < O(n²) < O(n³) < O(n^k) < O(2ⁿ) 随着问题规模n的不断变大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低。

1.3 平均时间复杂度和最坏时间复杂度

1. 平均时间复杂度是指所有可能的输入实例均以等概率出现的情况下，该算法的运行时间。
2. 最坏情况下的时间复杂度称最坏时间复杂度。—般讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂度。这样做的原因是:最坏情况下的时间复杂度是算法在任何输入实例上运行时间的界限，这就保证了算法的运行时间不会比最坏情况更长。
3. 平均时间复杂度与最坏时间复杂度是否一致，和算法有关。

2、空间复杂度(不详细讨论)

2.1 基本介绍

1. 类似于时间复杂度的讨论，一个算法的空间复杂度（space Complexity）定义为该算法所耗费的存储空间，它也是问题规模n的函数。
2. 空间复杂度（space Complexity）是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。
3. 在做算法分析时，主要讨论的是时间复杂度。从用户使用体验上看，更看重的程序执行的速度。一些缓存产品和算法本质上就是用空间换时间。