01背包

dp[i][j] = max(dp[i-1][j-w[i-1]]+v[i-1],dp[i-1][j]) 

（注意：在数组中，i-1代表第i个物品；而dp表中，i代表第i个物品，要注意区分）

i表示只考虑前i个物品，j表示背包剩余容量
上式表示，如果取第i个物品，dp[i][j] = dp[i-1][j-w[i-1]]+v[i-1]，背包容量减少w[i-1]，价值增加v[i-1]；
如果不取第i个物品，价值和容量都不变。

dp表如下，顺序从左到右，从上到下

int bag(const vector<int> &w, const vector<int> &v, int sum){
	vector<vector<int>> dp(w.size() + 1,vector<int>(sum+1));
	for (int i = 0; i <= w.size(); ++i){
		for (int j = 0; j <= sum; ++j){
			if (i == 0 || j == 0)
				dp[i][j] = 0;
			else{
				if (j < w[i-1])
					dp[i][j] = dp[i - 1][j];
				else
					dp[i][j] = max(dp[i - 1][j],dp[i-1][j-w[i-1]]+v[i-1]);
			}
		}
	}
	return dp[w.size()][sum];
}

主函数

int main(){
	vector<int> w{ 2,2,6,5,4 };
	vector<int> v{6,3,5,4,6};
	int sum = 10;
	cout << bag(w,v, sum) << endl;
	return 0;
}

改进！

我们看到dp[i][j]只与dp[i-1][*]有关，因此我们可以不用存这么多行。

最简单的，只存前一行和当前行。

int bag(const vector<int> &w, const vector<int> &v, int sum){
	vector<vector<int>> dp(2,vector<int>(sum+1));
	for (int i = 0; i <= w.size(); ++i){
		for (int j = 0; j <= sum; ++j){
			if (i%2 == 0 || j == 0)
				dp[i%2][j] = 0;
			else{
				if (j < w[i-1])
					dp[i%2][j] = dp[(i-1)%2][j];
				else
					dp[i%2][j] = max(dp[(i - 1)%2][j],dp[(i-1)%2][j-w[i-1]]+v[i-1]);
			}
		}
	}
	return dp[w.size()%2][sum];
}

还可以只用一行！
那就是从右向左更新。

int bag(const vector<int> &w, const vector<int> &v, int sum){
	vector<int> dp(sum + 1);

	for (int i = 0; i <= sum; ++i)
		dp[i] = (i < w[0] ? 0 : v[0]);

	for (int i = 1; i < w.size(); ++i)
		for (int j = sum; j >= w[i]; --j)
			dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i]);

	return dp[sum];
}

完全背包问题

在完全背包问题中，每个物品有无限个。除了选择拿或者不拿，还要选择拿多少个

int bag(const vector<int> &w, const vector<int> &v, int sum){
	vector<vector<int>> dp(w.size() + 1,vector<int>(sum+1));
	
	for(int i=0;i<=w.size();++i)
		dp[i][0] = 0;
	for(int j=0;j<=sum;++j)
		dp[0][j] = 0;
		
	for (int i = 1; i <= w.size(); ++i)
		for (int j = 1; j <= sum; ++j)
			for(int k = 0; k * w[i-1] <= j; ++k)
				dp[i][j] = max(dp[i - 1][j],dp[i-1][j-k*w[i-1]]+k*v[i-1]);

	return dp[w.size()][sum];
}