针孔相机模型公式推导

  针孔相机模型是使用的较多的模型，下面总结三维模型重建中的针孔相机成像过程。

  首先，空间中的一个点要在针孔相机的像平面重建，需要4步。

1.从世界坐标系变化到相机坐标系

  世界坐标系可以定义在任意位置，作为参考坐标系，相机坐标系以相机的光心看为远点，相机朝向为Z轴，朝上为Y轴，再根据右手定则确定X轴，如图（Ocam表示相机坐标系原点，Owor表示世界坐标系所选的点的原点）：

  空间中的一个点表示为
$X_w=\left[\begin{array}{c}{x}_w\\ y_w\\ z_w\end{array}\right]$
  这个空间中的点对应的相机中的点表达为：
$X_c=\left[\begin{array}{c}{x}_c\\ y_c\\ z_c\end{array}\right]$

  $X_c$和$X_w$之间可以通过刚体变换来进行转换（刚体变换即变换前后两点的的距离依旧保持不变的变换，可分为平移变换、旋转变换和镜像（或叫翻转）变换）：

1- 平移变换

  假设存在点(x,y,z)，将x移动a，y移动b，z移动c，到新的点$(x^{{}^{\prime }},y^{{}^{\prime }},z^{{}^{\prime }})$，则：
$x^{{}^{\prime }}=x+a$
$y^{{}^{\prime }}=y+b$
$z^{{}^{\prime }}=y+c$

  平移向量为：
$t=\left[\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right]$

  写成矩阵形式：
$\left[\begin{array}{c}{x}^{{}^{\prime }}\\ y^{{}^{\prime }}\\ z^{{}^{\prime }}\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& a\\ 0& 1& 0& b\\ 0& 0& 1& c\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ 1\end{array}\right]$

  中间4x4的矩阵叫变换矩阵。可见，如果要平移坐标，要将坐标维度增加1，变成齐次坐标（齐次坐标（homogeneous coordinates）就是将一个原本是n维的向量用一个n+1维向量来表示，常用于投影几何）。

  在计算机图形学中，为了实现平移、旋转、缩放等图像操作，需要用到齐次坐标。

例1：世界坐标系wor相对相机坐标系cam的x、y、z分别平移了10，20，30，求次变换齐次矩阵。

$\left[\begin{array}{c}{x}^{{}^{\prime }}\\ y^{{}^{\prime }}\\ z^{{}^{\prime }}\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 10\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 20\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 30\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 10\\ 0& 1& 0& 20\\ 0& 0& 1& 30\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ 1\end{array}\right]$

三个分量矩阵位置可以交换，因为是独立变量，互不影响。
所以，平移齐次矩阵为：$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 10\\ 0& 1& 0& 20\\ 0& 0& 1& 30\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

2- 旋转变换

例2：世界坐标系wor相对相机坐标系cam绕x轴顺时针旋转了$\alpha$（逆时针旋转为正，所以以下变换均为逆时针旋转）：
变换矩阵：$\left[\begin{array}{c}{x}^{{}^{\prime }}\\ y^{{}^{\prime }}\\ z^{{}^{\prime }}\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& cos\alpha & -sin\alpha & 0\\ 0& sin\alpha & cos\alpha & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ 1\end{array}\right]$

再绕y轴顺时针旋转$\beta$（应该再左乘一个变换矩阵）：

$\left[\begin{array}{c}{x}^{{}^{\prime \prime }}\\ y^{{}^{\prime \prime }}\\ z^{{}^{\prime \prime }}\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& cos\alpha & -sin\alpha & 0\\ 0& sin\alpha & cos\alpha & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\times [\begin{array}{c}{x}^{{}^{\prime }}\\ y^{{}^{}}\end{array}$