递推

递推

一、定义

递推法:每一项都和他前面的若干项由一定的关联时，可以通过其前面若干项得出某项的数据的方法。关键是要找到递推式。这种处理问题的方法能使复杂运算化为若干步重复的简单运算，充分发挥出计算机擅长于重复处理的特点。 递推算法避开了求通项公式的麻烦，把一个复杂的问题的求解，分解成了连续的若干步简单运算。一般说来，可以将递推算法看成是一种特殊的迭代算法。
 

二、递推典型关系

1、Fibonacci数列

问题：有雌雄一对兔子，假定过两个月便可繁殖雌雄各一的一对小兔子。问过n个月后共有多少对兔子？
递推式：

F(x) = F(x - 1) + F(x - 2)     

边界条件：

F(0) = 0，F(1) = 1

2、Hanoi塔问题

问题：Hanoi塔由n个大小不同的圆盘和三根木柱a,b,c组成。开始时，这n个圆盘由大到小依次套在a柱上。

递推式:

h(n) = 2 * h(n - 1) + 1

边界条件：

h(1) = 1

3、平面分割问题

问题：设有n条封闭曲线画在平面上，而任何两条封闭曲线恰好相交于两点，且任何三条封闭曲线不相交于同一点，问这些封闭曲线把平面分割成的区域个数。

递推式：

a(n) = a(n – 1) + 2 * (n - 1)		

边界条件:

a(0) = 1

4、Catalan数

Catalan数首先是由Euler在精确计算对凸n边形的不同的对角三角形剖分的个数问题时得到的，它经常出现在组合计数问题中。
问题：在一个凸n边形中，通过不相交于n边形内部的对角线，把n边形拆分成若干三角形，不同的拆分数目用h(n)表示，h(n)即为Catalan数。例如五边形有如下五种拆分方案，故h5=5。求对于一个任意的凸n边形相应的hn。

递推式：
  ${\sum }_{i=2}^{n-1}{C}_i^{}{C}_{n-i+1}^{}$

5、第二类Stirling数

n个有区别的球放到m个相同的盒子中，要求无一空盒，其不同的方案数用S(n,m)表示，称为第二类Stirling数。
递推式：

s(n + 1, m) = s(n, m – 1) + m * s(n, m)

 

三、总结

通过上面对五种典型的递推关系解决题目，对待递推的题目，要具体情况具体分析，通过找到某状态与其前面状态的联系，建立相应的递推关系。