动态规划：数字三角形（线性DP-闫氏DP分析法）

动态规划：数字三角形（线性DP-闫氏DP分析法）

数字三角形

www.acwing.com/problem/content/900/

DP:

• 状态表示：f[i][j]​

  • 集合：只用前 $i$ 层，且用了该层第 $j$ 个数字的所有方案
  • 属性：max value

• 状态计算：$f[i][j]=max(f[i-1][j-1],f[i-1][j])+arr[i][j]$

  • 不要从上往下看，应该从下往上看，看来时路。找第一个不同点
  • 从左上来：$f[i][j]=f[i-1][j-1]+arr[i][j]$
  • 从右上来：$f[i][j]=f[i-1][j]+arr[i][j]$

• 优化：需要上一层数据：从大到小

注意：因为有负数存在，应当考虑初始化问题，以及最后结果的选取

import java.util.*;

public class Main {
    static final int N = 510;
    static int f[] = new int[N];
    static int[][] a = new int[N][N];
    
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt();
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= i; j++) {
                a[i][j] = sc.nextInt();
            }
        }
        
        // 注意负数的存在
        Arrays.fill(f, -0x3f3f3f3f);
        f[1] = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = i; j > 0; j--) {
                f[j] = Math.max(f[j - 1], f[j]) + a[i][j];
            }
        }
        
        int res = -0x3f3f3f3f;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            res = Math.max(res, f[i]);
        }
        System.out.println(res);
    }
}