动态规划：砝码称重（01背包-闫氏DP分析法）

动态规划：砝码称重（01背包-闫氏DP分析法）

砝码称重

www.acwing.com/problem/content/3420/

DP:

• 状态表示：f[i][j]​

  • 集合：只用前 $i$ 个砝码，测出重量为 $j$ 的所有方案
  • 属性：bool

• 状态计算：$f[i][j]=f[i-1][j]||f[i-1][j-w[i]]$

对于本题，由于砝码可以放在天平两侧，可以将一个砝码拆为一正一负，用来表示放在天平的哪一侧，最后统计大于 0 的部分即可

实现方式有两种：

1. 分开 DP，需要改变遍历顺序（仅一维的情况，二维不需要考虑），因为当 w[i]​ 为负数时，要获取上一层的数据应该从小到大（和 w[i]​ 为正数时相反）
2. 构造一个大数组，设定一个基准 $B$ 作为零度线，这样就将负数和正数的组成方案全部放在同一个数组中，最后只要统计大于 $B$ 的结果即可

import java.util.*;

public class Main {
    static final int N = 200010;
    static int[] w = new int[N];
    static boolean[] f = new boolean[N];
    
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt();
        int sum = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            w[i] = sc.nextInt();
            w[i + n] = -w[i];
            sum += w[i];
        }
        
        // dp砝码全放一侧
        f[0] = true;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = sum; j >= 0; j--) {
                if (j - w[i] >= 0) {
                    f[j] = f[j] || f[j - w[i]];
                }
            }
        }
        
        // dp砝码放两侧，遍历顺序不同
        for (int i = n + 1; i <= 2 * n; i++) {
            for (int j = 0; j <= sum; j++) {
                // 此时w[i]均为负数
                f[j] = f[j] || f[j - w[i]];
            }
        }
        
        int count = 0;
        for (int i = 1; i <= sum; i++) {
            if (f[i]) {
                count++;
            }
        }
        System.out.println(count);
    }
}