数论：Stern-Brocot Tree 有序分数

数论：Stern-Brocot Tree 有序分数

Stern-Brocot Tree

Stern–Brocot 树是一种维护分数的优雅的结构，包含所有不同的正有理数。

原理

Stern–Borcot 树可以在迭代构造第 $k$ 阶 Stern–Brocot 序列的过程中得到。第 $0$ 阶 Stern–Brocot 序列由两个简单的分数组成：

$$\frac{0}{1},\frac{1}{0}$$

此处的 $\frac{1}{0}$ 严格意义上并不算是有理分数，可以理解为表示 $\infty$ 的最简分数。

• 第 $k$ 阶 Stern–Brocot 序列相邻的两个分数 $\frac{a}{b}$ 和 $\frac{c}{d}$ 中间插入它们的中位分数 $\frac{a+c}{b+d}$，就可以得到第 $k+1$ 阶 Stern-Brocot 序列

第 $k$ 阶 Stern–Brocot 序列，不计左右端点，就是深度为 $k-1$ 的 Stern–Brocot 树的中序遍历。

有序分数

www.acwing.com/problem/content/1362/

可以暴力直接做 -> $O(n^{2}logn)$

递归写法：

import java.util.*;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt();
        System.out.println("0/1");
        sternBrocot(n, 1, 0, 1, 1);
        System.out.println("1/1");
    }
    
    // b/a d/c
    private static void sternBrocot(int n, int a, int b, int c, int d) {
        if (a + c > n) {
            return;
        }
        
        // (b + d) / (a + c)
        // 中序遍历
        // left, mid
        sternBrocot(n, a, b, a + c, b + d);
        // mid
        System.out.printf("%d/%d\n", b + d, a + c);
        // mid, right
        sternBrocot(n, a + c, b + d, c, d);
    }
}