动态规划：游戏

动态规划：游戏

游戏

www.acwing.com/problem/content/1390/

DP:

• 状态表示：f[i][j]​

  • 集合：先手对于区间 $[i,j]$，选取的所有方案
  • 属性：当前玩家相对于对手的最大得分差

• 状态计算：$f[i][j]=max(w[i]-f[i+1][j],w[j]-f[i][j-1])$

  • 选左边：$f[i][j]=w[i]-f[i+1][j]$
  • 选右边：$f[i][j]=w[j]-f[i][j-1]$

区间 DP：

1. 枚举长度
2. 枚举左起点

import java.util.*;

public class Main {
    static final int N = 110;
    static int[] w = new int[N];
    static int[][] f = new int[N][N];
    
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt();
        int sum = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            w[i] = sc.nextInt();
            sum += w[i];
        }
        
        // 先枚举长度
        for (int len = 1; len <= n; len++) {
            // 再枚举起点
            for (int i = 0; i + len - 1 < n; i++) {
                int j = i + len - 1;
                if (j == i) {
                    f[i][j] = w[i] - f[i + 1][j];
                } else {
                    f[i][j] = Math.max(w[i] - f[i + 1][j], w[j] - f[i][j - 1]);    
                }
            }
        }
        
        // A + B = sum; A - B = d
        int d = f[0][n - 1];
        System.out.printf("%d %d\n", (sum + d) / 2, (sum - d) / 2);
    }
}

解析

为什么选用最大得分差？

• 如果当前玩家取走一个数，那么对手会在剩下的子数组中取数。（零和游戏）
• 当前得分差 = 当前玩家取走的数 - 对手在剩下子数组中的得分。
• 注意：这个得分差是相对的，当前玩家是交替的

当 i == j​ 时，dp[i][j] = nums[i]​，因为只有一个数，当前玩家只能取走它。

dp[0][0] = 4
dp[1][1] = 7
dp[2][2] = 2
dp[3][3] = 9
dp[4][4] = 5
dp[5][5] = 2

计算 dp[0][1]​：

当前玩家可以选择 nums[0]​ 或 nums[1]​。

• 如果取 nums[0]​，对手在 nums[1..1]​ 中取数，得分差为 4 - 7 = -3​。
• 如果取 nums[1]​，对手在 nums[0..0]​ 中取数，得分差为 7 - 4 = 3​。
  当前玩家会选择最大值，因此 dp[0][1] = 3​。

计算 dp[1][2]​：

当前玩家可以选择 nums[1]​ 或 nums[2]​。

• 如果取 nums[1]​，对手在 nums[2..2]​ 中取数，得分差为 7 - 2 = 5​。
• 如果取 nums[2]​，对手在 nums[1..1]​ 中取数，得分差为 2 - 7 = -5​。
  当前玩家会选择最大值，因此 dp[1][2] = 5​。

最终结果：

通过逐步填充 dp​ 表，最终得到 dp[0][5] = 7​，表示玩家一比玩家二多得 7 分。
总和为 4 + 7 + 2 + 9 + 5 + 2 = 29​，因此：

• 玩家一的得分为 (29 + 7) / 2 = 18​。
• 玩家二的得分为 (29 - 7) / 2 = 11​。