2022.03.25再看数字三角形

最新推荐文章于 2023-06-03 12:21:22 发布

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#算法 #蓝桥杯 #java

本文介绍了一种解决数字三角形最大路径和问题的方法。利用动态规划思想，定义状态dp[i][j]为走到第(i,j)位置的最大得分，并通过状态转移方程找到最终答案。

2022.03.25再看数字三角形

在这里插入图片描述

上图给出了一个数字三角形。从三角形的顶部到底部有很多条不同的路径。对于每条路径，把路径上面的数加起来可以得到一个和，你的任务就是找到最大的和。

路径上的每一步只能从一个数走到下一层和它最近的左边的那个数或者右边的那个数。此外，向左下走的次数与向右下走的次数相差不能超过 1。

输入描述

输入的第一行包含一个整数 $(1≤N≤100)N\ (1 \leq N \leq 100)$ ，表示三角形的行数。

下面的 N 行给出数字三角形。数字三角形上的数都是 0 至 100 之间的整数。

输出描述

输出一个整数，表示答案。

输入

5
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5

输出

思路：dp

之前是使用dfs做这道题目的。但是，当数据量较大时，便不能使用dfs解题。提供一种动态规划思路：

定义状态dp[i][j]：走到第(i,j)位置的最大得分。
状态转移：dp[i][j] = max{ dp[i-1][j], dp[i-1][j-1] } + a[i][j]
最终答案：找最下面一层中 $dp[n][n−12+1]dp[n][\frac{n-1}{2}+1]$ 到 $dp[n][n−n−12]dp[n][n-\frac{n-1}{2}]$ 的最大值。

因为往左走的步数和往右走的步数不能相差1，所以限定了最终到达的范围，如3.所述。

代码

		Reader cin = new Reader();
		int n = cin.nextInt();
		int[][] dp = new int[110][110];
		int[][] a = new int[110][110];
		// dp[i][j] = max{ dp[i-1][j], dp[i-1][j+1] }
		for(int i = 1; i <= n; i++) {
			for(int j = 1; j <= i; j++) {
				a[i][j] = cin.nextInt();
			}
		}
		for(int i = 1; i <= n; i++) {
			for(int j = 1; j <= i; j++) {
				dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-1]) + a[i][j];
			}
		}
		int res = 0;
		int walk = (n-1)/2;
		for(int j = walk+1; j <= n-walk; j++) {
			res = Math.max(res, dp[n][j]);
		}
		System.out.println(res);