【分块】余数求和

最新推荐文章于 2025-06-17 14:41:04 发布

Z_sea

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分类专栏：数论

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【题目】：

给你n,k; $\large \sum_{i=1}^{n}k\%n$

【题解】：

根据多个人的博客，我终于看懂了，其实就很简单，大家认真分析即可。

首先对这个式子进行一系列地化简：

$\large \sum_{i=1}^{n}k\%n=\sum_{i=1}^{n}(k-\left \lfloor \frac{k}{i} \right \rfloor*i)$

$\large \sum_{i=1}^{n}(k-\left \lfloor \frac{k}{i} \right \rfloor*i)=n*k-\sum_{i=1}^{n}\left \lfloor \frac{k}{i} \right \rfloor*i$

发现每一个位置i，整除k都会得到不同的值。

然后对于不同的值，进行分块处理。

对于每一块来说，都有左右端点。左端点L=i，那么右端点呢？？？

∵k/L=k/R

∴R=k/(k/L)

可能会出现k/L=0,此时加一个判断直接让R=n.

区间求和：等差数列求和。

暂存值：t=k/L

个数为：R-L+1

那么一段区间的值为：t*(R-L+1)*(L+R)/2

看代码呗；

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n,k,ans;
int main()
{
    ios_base :: sync_with_stdio(0);
    cin.tie(NULL);
    cout.tie(NULL);
    cin >> n >> k;

    for ( int L=1 , R ; L<=n ; L=R+1 ){
        ll tmp = k/L;
        R = tmp ? min( k/tmp , n) : n;
        ans = ans + tmp* ( R - L + 1 )*(L+R)/2;
    }
    ans = n*k - ans;
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}