拓展欧几里德

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一 引例：

求两个数的gcd（a,b）=a和b两个数的最大公倍数?

• 短除法

• 更相减损法

• 辗转相除法

 

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1、短除法：

百度百科——短除法

其实短除法的核心   唯一分解定理。我们要求的最大公约数，其实也是它本身的一部分因子。

复杂度

注意：K=gcd(n,m)这个数的因子个数。

百度百科——唯一分解定理

我们演示一遍即可。

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2、更相减损术：

百度百科——更相减损术

这个方法是来自我国数学：《九章算术》可以求最大公约数。

复杂度：O(N)

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3、辗转相除法：（欧几里德）

百度百科——辗转相除法

复杂度： 

图像 小部件

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 贴上代码：以上三种方法的使用。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
void DC(){
    int a=888,b=664,gcd=1;
    while(1){
        int flag=0;
        for(int i=2;i<=min(a,b);i++){
            if(a%i==0&&b%i==0){
                gcd*=i;
                a/=i,b/=i;
                flag=1;
                break;
            }
        }
        if(flag==0){    //两者为互质
            break;
        }
    }
    printf("最大公约数：gcd(664,888)=%d\n",gcd);
    printf("最小公倍数：lcm(664,888)=%d\n",gcd*a*b);
}
void XJ(){      //更相减损术
    int a=888,b=664,temp=0,cnt=0;
    while(a-b!=0){
        //printf("%d %d %d\n",a,b,temp);
        temp=a-b;
        a=b;
        b=temp;
        if(a<b) swap(a,b);
    }
    printf("%d\n",temp);
}
void GCD(){    //非递归写法
    int a=888,b=664,temp;
    while(a%b!=0){
       temp=a%b;
        a=b;
        b=temp;
    }
    printf("%d\n",b);
}
int gcd(int a,int b){//递归写法
    return a%b==0?b:gcd(b,a%b);
}
int main()
{
    DC();
    XJ();
    GCD();
    cout<<gcd(664,888)<<endl;
}

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二  拓展欧几里德：

上面提到了欧几里德，大家都看出来了，仅仅处理了一个小问题，就是计算一个最大公约数。

但是，这个计算公约数速度非常快，可以达到log级别的都是优质算法。

我们只是提及一下短除法和更相减损法，但是有时候面对小的数字，我们可以