P8554 心跳

题目描述

赫尔德想对上面的问题进行探究，她想先做一些统计，于是她抽象了这个问题。
我们对于一个长为 $l$ 的数列 $p$，定义函数：

• $f(p)$ 表示有多少 $1\le i\le l$ 满足 $p_i={\max }_{j=1}^i{p}_j$（即前缀最大值的个数）。
  现在，给定 $n,m$，请求出有多少满足以下条件的长为 $n$ 的，值域在 $[m,n]$ 数列 $a$：
• 存在一个排列 $p$ 使得：令 $P_i$ 代表 $p$ 去掉 $p_i$ 后的数列（即 $[p_1,p_2,\dots ,p_{i-1},p_{i+1},\dots ,p_n]$），$f(P_i)=a_i$。
  答案对 $10^9+7$ 取模。

$n,m\le 2000$

题解

玄妙双射题
先考虑$m=1$怎么做
考虑给$a$序列构造一个双射，我们假设$k$为原排列的前缀最大值个数（可以证明一个$a$只会对应一个$k$，所以不会算重）
$a_i<k$说明不合法，$p_i$不是前缀最大值时，$a_i=k$，当$p_i$时前缀最大值的时，$a_i\in [k-1,n]$
分析一下，一个序列中只有$3$种数，一种是前缀最大值称为红色，一种是删除最靠近它的前缀最大之后会变为前缀最大值称为绿色，一种是无论如何都会变成前缀最大值，称为黄色

我们考虑让一个合法序列$a$唯一对应一个颜色序列
我们用以下操作构造颜色序列
1.首先找到$a_i\ne k$的$i$，把该位置染成红色，在它后面需要$a_i-k$个绿色，由于它们相对位置并不重要，所以我们钦定后面的绿色紧跟在红色后面，即$j\in [i+1,i+a_i-k]$的位置会被染成绿色
2.假设我们已经钦定了$w$个位置为红色，显然我们还需要钦定$k-w$个红色位置，我们每次找出最小的$i$，使得$a_i=a_{i+1}=k$，并且$i$和$i+1$均未被染色，然后把$i$染红，$i+1$染绿，不断进行这个操作$k-w$遍
3.其余未染色位值均染成黄色

显然一个合法的$a$必定能够对应一个颜色序列，然后一个颜色序列必定能够回推出一个$a$序列，所以合法$a$序列和颜色序列构成双射，且显然对于任意一个颜色序列，我们都可以构造出一个合法的$p$，可以考虑插入构造，所以颜色序列的个数就是合法$a$的个数

直接对颜色序列进行计数
对于颜色序列还有一些隐性限制
1.第一个一定是红，第二个不能为黄
2.x为不为绿的颜色，红绿x前不能出现黄黄，不能出现黄红绿，否则不符合构造颜色序列时的操作2
3.绿紧跟红
根据这三个限制就可以设计状态了，下面是我自己设计的状态

0 黄 无黄黄
1 黄红 无黄黄
2 黄红绿 无黄黄
3 绿 无黄黄 前方不是黄红
4 红 无黄黄 前方非黄
5 黄 有黄黄
6 红 有黄黄
7 红绿 有黄黄
8 绿绿 有黄黄

每行的第二段字表示当前结尾的情况
做$m>1$的情况就要多记两个东西
1.红色的个数
2.是否有红色后面不接绿色
细节挺多

$\text{code}$

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=2e3+10,mod=1e9+7;
int n,m;
int f[2][9][N+10][N+10];
void Add(int &a,int b){a+=b;if(a>=mod) a-=mod;}
int main()
{
	scanf("%d %d",&n,&m);
	n++;
	f[0][3][1][2]=1;
	f[1][4][2][2]=1;
	for(int i=3;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++)
		{
			for(int k=0;k<=1;k++)
			{
				Add(f[k][0][j][i],f[k][1][j][i-1]),Add(f[k][0][j][i],f[k][3][j][i-1]),Add(f[k][0][j][i],f[k][4][j][i-1]);
				Add(f[k][1][j][i],f[k][0][j-1][i-1]);
				Add(f[k][2][j][i],f[k][1][j][i-1]);
				Add(f[k][3][j][i],f[k][2][j][i-1]),Add(f[k][3][j][i],f[k][3][j][i-1]),Add(f[k][3][j][i],f[k][4][j][i-1]);
				Add(f[k][4][j][i],f[k][1][j-1][i-1]),Add(f[k][4][j][i],f[k][3][j-1][i-1]),Add(f[k][4][j][i],f[k][4][j-1][i-1]);
				Add(f[k][5][j][i],f[k][0][j][i-1]),Add(f[k][5][j][i],f[k][5][j][i-1]),
				Add(f[k][5][j][i],f[k][6][j][i-1]),Add(f[k][5][j][i],f[k][8][j][i-1]);
				Add(f[k][6][j][i],f[k][5][j-1][i-1]),Add(f[k][6][j][i],f[k][6][j-1][i-1]),Add(f[k][6][j][i],f[k][8][j-1][i-1]);
				Add(f[k][7][j][i],f[k][6][j][i-1]);
				Add(f[k][8][j][i],f[k][7][j][i-1]),Add(f[k][8][j][i],f[k][8][j][i-1]);
			}
			Add(f[1][0][j][i],f[0][1][j][i-1]),Add(f[1][0][j][i],f[0][4][j][i-1]);
			Add(f[1][4][j][i],f[0][4][j-1][i-1]),Add(f[1][4][j][i],f[0][1][j-1][i-1]);
			Add(f[1][5][j][i],f[0][6][j][i-1]),Add(f[1][6][j][i],f[0][6][j-1][i-1]);

			Add(f[0][0][j][i],mod-f[0][1][j][i-1]),Add(f[0][0][j][i],mod-f[0][4][j][i-1]);
			Add(f[0][4][j][i],mod-f[0][4][j-1][i-1]),Add(f[0][4][j][i],mod-f[0][1][j-1][i-1]);
			Add(f[0][5][j][i],mod-f[0][6][j][i-1]),Add(f[0][6][j][i],mod-f[0][6][j-1][i-1]);
		}
	int ans=0;
	for(int j=m+1;j<=n;j++)
		for(int k=0;k<=1;k++)
			Add(ans,f[k][0][j][n]),Add(ans,f[k][5][j][n]);
	Add(ans,f[0][0][m][n]),Add(ans,f[0][5][m][n]);
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}