ARC127 Sum of Min of Xor

最新推荐文章于 2025-08-05 19:50:13 发布

doctorZ_

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分类专栏：分治文章标签：算法

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Z_Y_S_/article/details/124050354

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该博客介绍了如何利用分治策略解决一道算法问题：求解数组中两两元素异或后的最小值之和。通过分析Ai⊕Aj和Bi⊕Bj的最高位特性，将元素分为两类并进行分治计算，最终得出时间复杂度为O(nlog2n)的解决方案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目大意

给定数组 ${A_n\}$ 和 ${B_n\}$ ，求 $∑1≤i<j≤nmin⁡(Ai⊕Aj,Bi⊕Bj)\sum_{1\le i<j\le n}\min(A_i\oplus A_j,B_i\oplus B_j)$ ， $n≤250000n\le 250000$

题解

这题还是很妙的，要求的东西看上去没什么关联，所以想办法找点关联，发现 $Ai⊕Aj⊕Bi⊕BjA_i\oplus A_j\oplus B_i\oplus B_j$ 的最高位 $1$ 的位置是 $Ai⊕AjA_i\oplus A_j$ 和 $Bi⊕BjB_i\oplus B_j$ 最高位不同的位置
设 $Ci=Ai⊕BiC_i=A_i\oplus B_i$ ，考虑根据上面那条性质分治，每次把在当前位数 $d e p$ 为 $0$ 的 $C_i$ 放到一个集合中，为 $1$ 的 $C_i$ 放到另一个集合中，那么这两个集合之间 $Ai⊕AjA_i\oplus A_j$ 和 $Bi⊕BjB_i\oplus B_j$ 不同的最高位就是 $d e p$ ，判断它们的大小关系只需要判断它们在 $d e p$ 位上的大小关系，讨论一下算出贡献，再分治下去，分治的每一层算贡献的复杂度为 $O(nlog⁡n)O(n\log n)$ ，分治深度为 $O(log⁡n)O(\log n)$ ，所以总时间复杂度为 $O(n\log^2n)$

code

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
void read(int &res)
{
	res=0;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9') ch=getchar();
	while('0'<=ch&&ch<='9') res=(res<<1)+(res<<3)+(ch^48),ch=getchar();
}
const int N=3e5+100,Bl=19;
int n,a[N+10],b[N+10],p[N+10],p0[N+10],p1[N+10],c[2][Bl+10],A[2][2][Bl+10],B[2][2][Bl+10];
ll solve(int l,int r,int dep=Bl)
{
	if(l>r) return 0;
	if(dep<0)
	{
		ll res=0;
		for(int i=0;i<=Bl;i++) c[0][i]=c[1][i]=0;
		for(int i=l;i<=r;i++)
		{
			for(int j=0,k;j<=Bl;j++) k=((a[p[i]]&(1<<j))!=0),res+=1ll*c[k^1][j]*(1<<j);
			for(int j=0,k;j<=Bl;j++) k=((a[p[i]]&(1<<j))!=0),c[k][j]++;
		}
		return res;
	}
	ll res=0;p0[0]=p1[0]=0;
	for(int i=l;i<=r;i++)
	{
		if((a[p[i]]^b[p[i]])&(1<<dep)) p0[++p0[0]]=p[i];
		else p1[++p1[0]]=p[i];
	}
	for(int j=0;j<=Bl;j++) for(int i=0;i<=1;i++) for(int k=0;k<=1;k++) A[i][k][j]=B[i][k][j]=0;
	for(int i=1,k1;i<=p0[0];i++)
	{
		k1=((a[p0[i]]&(1<<dep))!=0);
		for(int j=0,k;j<=Bl;j++)
		{
			k=((a[p0[i]]&(1<<j))!=0),A[k1][k][j]++,
			k=((b[p0[i]]&(1<<j))!=0),B[k1][k][j]++;
		}
	}
	for(int i=1,k1;i<=p1[0];i++)
	{
		k1=((a[p1[i]]&(1<<dep))!=0);
		for(int j=0,k;j<=Bl;j++)
		{
			k=((a[p1[i]]&(1<<j))!=0);
			res+=1ll*A[k1][k^1][j]*(1<<j);
			k=((b[p1[i]]&(1<<j))!=0);
			res+=1ll*B[k1^1][k^1][j]*(1<<j);
		}
	}
	for(int i=1;i<=p0[0];i++) p[l+i-1]=p0[i];
	for(int i=1;i<=p1[0];i++) p[l+p0[0]-1+i]=p1[i];
	int mid=l+p0[0]-1;
	res+=solve(l,mid,dep-1)+solve(mid+1,r,dep-1);
	return res;
}
int main()
{
	read(n);
	for(int i=1;i<=n;i++) p[i]=i;
	for(int i=1;i<=n;i++) read(a[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++) read(b[i]);
	printf("%lld",solve(1,n,Bl));
	return 0;
}