【C++】01背包问题暴力，记忆，动态规划解法

0-1 背包问题详解与实现

问题描述

在算法领域，0-1背包问题是一个经典的优化问题。给定一个背包和一个物品集合，每个物品有其重量和价值，我们需要选择物品放入背包，使得背包内物品的总价值最大，同时不超过背包的容量限制。

问题分析

0-1背包问题可以通过决策树模型来理解。每件物品都有放入或不放入背包的选择，我们可以定义状态来描述这一决策过程。

状态定义

• 状态[i, c]：考虑前i个物品，在容量为c的背包中能获得的最大价值。

状态转移方程

• 不放入物品i：dp[i, c] = dp[i-1, c]
• 放入物品i：dp[i, c] = dp[i-1, c-wgt[i-1]] + val[i-1]
• 最终状态dp[n, cap]即为所求的最大价值。

边界条件

• 当无物品或背包容量为0时，最大价值为0。

算法实现

我们可以通过递归、记忆化搜索和动态规划三种方式来解决0-1背包问题。

暴力搜索

int bag01(vector<int>& wgt, vector<int>& val, int i, int c) {
   
   
    if (i == 0 || c == 0) return 0;
    if (wgt[i - 1] > c) return bag01(wgt, val, i - 1, c);
    int no = bag01(wgt, val, i - 1, c);
    int yes = bag01(wgt, val, i - 1, c - wgt[i - 1]) + val[i - 1];
    return max(no, yes);
}

记忆化搜索

int bag01Mem(vector<int>& wgt, vector<int>& val, vector<vector<int>>& mem, int i, int c) {
   
   
    if (i == 0 || c == 0) return 0;
    if (mem[i][c] != -1) return mem[i][c];
    if (wgt[i - 1] > c) return bag01Mem(wgt, val, mem, i - 1, c);
    int no = bag01Mem(wgt, val, mem