概率基本概念

本文介绍了概率论中的核心概念,包括随机事件、样本空间、事件的运算等,并详细解释了概率的定义及其公理,还涉及条件概率及全概率公式等内容。

1.随机事件与概率

自然界中各种现象可以区分为两种:确定性现象随机现象

  • 确定性现象:在一定条件下必然会出现的现象

  • 随机现象:在一定的条件下,可能出现多种结果,而在试验之前无法预知其确切的结果,也无法控制

概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一
门数学学科

2.随机事件及其运算

(1)随机试验

  • 随机试验 具有以下特点的试验称为随机试验:
  • 1.试验可以在相同条件下重复进行

  • 2.试验可能出现的结果有多个,试验之前知道所有可能的结果

  • 3.试验结束后会出现哪一个结果是随机的(无法事先知道,也无法控制)

通常用字母EEE表示随机试验(以后简称试验)。

例如:
E1E1E1 :抛一枚硬币,观察正、反面出现的情况
E2E2E2 :掷一颗骰子,观察出现的点数

(2)基本事件ωωω(也称样本点):

一次试验可能出现的每一个直接的结果。也就是随机试验不能够再分解的结果。

如:
E1E1E1有两个基本事件:E1=E1 =E1={出现正面}, E2=E2=E2={出现反面}
E2E2E2有六个基本事件: Ei=Ei =Ei={出现 i 点},i=1,2,3,4,5,6i=1,2,3,4,5,6i=1,2,3,4,5,6

(3)样本空间ΩΩΩ:全体基本事件的集合。

如:E2的样本空间为 Ω={1,2,3,4,5,6}

(4)随机事件:

试验的每一个可能结果。用大写字母A,B,CA,B,CA,B,C 等表示
随机事件也就是样本空间的子集,即若干基本事件组成的集合。

如:在E2E2E2中,“出现偶数点”的事件可表示为A=2,4,6A= {2,4,6}A=246

(5)事件发生:

当事件A所包含的基本事件有一个出现,就说事件发生了,否则就说事件A未发生

(6)必然事件:一定发生的事件,也就是样本空间ΩΩΩ

(7)不可能事件:一定不发生的事件,记为ΦΦΦ

(8)事件包含:

如果事件AAA发生必然导致事件BBB发生.则称事件BBB包含事件AAA,记作A⊂BA ⊂ BABB⊃AB ⊃ ABA

(9)事件的和:

事件A与事件B至少有一个发生,这样的一个事件称为事件A与事件B的和或并,记为 AAA U BBBA+BA + BA+B

(10)事件的积:

事件AAA与事件BBB同时发生,这样的事件称为事件A与事件B的积或交,记为 A∩BA ∩ BABABABAB

事件的和与积可以推广到多个事件

(11)事件的差:

事件AAA 发生而事件BBB不发生,这样的事件称为事件AAA与事件BBB的差,记为A−BA-BAB

A=2,4,6,B=2,3,A={2,4,6},B={2,3},A=2,4,6B=2,3A−B=4,6A-B={4,6}AB=4,6

A−BA-BAB就是AAA的基本事件中去掉含在BBB中的,余下的基本事件组成的事件。

(12)互斥事件:

若事件AAA与事件BBB不能同时发生(即AB=ΦAB=ΦAB=Φ),则称事件AAA与事件BBB为互不相容或互斥。若AAABBB互不相容,就是AAABBB不含有公共的基本事件

(13)对立事件(互逆):

若事件AAA与事件BBB有且仅有一个发生,且AAA U B=ΩB=ΩB=ΩA∩B=ΦA ∩ B =ΦAB=Φ,称事件A与事件B互为对立事件或互逆事件。

3.样本空间、 事件和概率

  • 样本空间 S 是一个集合,它的元素称为基本事件。

  • 样本空间的一个子集被称为事件,根据定义,所有基本事件互斥。

  • 概率:如果有一种事件到实数的映射 P{},满足:

    • (1) 对任何事件 A, P{A}≥0

    • (2) P{S}=1

    • (3) 对两个互斥事件, P{A∪B}=P{A}+P{B}

    则可称 PAP{A}PA为事件 AAA 的概率。上述三条称为概率公理。

4.条件概率

EEE为一试验,AAABBBEEE中两事件,且 P(A)>0P(A)>0P(A)>0,则称P(AB)/P(A)P(AB)/P(A)P(AB)/P(A)为事件AAA发生的条件下事件BBB发生的条件概率,记作P(B∣A)P(B|A)P(BA),即P(B∣A)=P(AB)/P(A)P(B|A)= P(AB)/P(A)P(BA)=P(AB)/P(A)

5.全概率公式

  • 定义

    • 设试验EEE的样本空间为ΩΩΩ,事件A1,A2,……,AnA1,A2,……,AnA1,A2,,An若满足:

      • 1、两两互不相容

      • 2、∑Ai\sum AiAi= Ω

      • 3、P(Ai)P(Ai)P(Ai)>0

    • 则称A1,A2,……,AnA1,A2,……,AnA1,A2,,AnΩΩΩ 的一个划分(分割)

  • 定理

    • ΩΩΩ为试验 EEE 的样本空间,AAAEEE 的一个随机事件,B1,B2,……,BnB1,B2,……,BnB1,B2,,BnΩΩΩ的一个划分,且有 P(Bi)>0P(Bi)>0P(Bi)>0,则有
              P(A)P(A)P(A)=∑i=1nP(B i )P(A∣B i )\sum_{i=1}^{n}{P(B~i~)P(A|B~i~)}i=1nP(B i )P(AB i )
      .
    • 证明:
           P(A)P(A)P(A)=∑i=1nP(AB i )=∑i=1nP(B i )P(A∣B i )\sum_{i=1}^{n}{P(AB~i~)}=\sum_{i=1}^{n}{P(B~i~)P(A|B~i~)}i=1nP(AB i )=i=1nP(B i )P(AB i )
  • 推论

    • ΩΩΩEEE的样本空间,AAAEEE的事件,B1,B2,……,BnB1,B2,……,BnB1,B2,,Bn互不相容,且P(Bi)>0P(Bi)>0P(Bi)>0∑i=1nB i ⊃A\sum_{i=1}^{n}{B~i~ ⊃A}i=1nB i A ,则
             P(A)P(A)P(A)=∑i=1nP(B i )P(A∣B i )\sum_{i=1 }^{n}{P(B~i~)P(A |B~i~)}i=1nP(B i )P(AB i )
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