1.随机事件与概率
自然界中各种现象可以区分为两种:确定性现象与随机现象
-
确定性现象:在一定条件下必然会出现的现象
-
随机现象:在一定的条件下,可能出现多种结果,而在试验之前无法预知其确切的结果,也无法控制
概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一
门数学学科
2.随机事件及其运算
(1)随机试验
- 随机试验 具有以下特点的试验称为随机试验:
-
1.试验可以在相同条件下重复进行
-
2.试验可能出现的结果有多个,试验之前知道所有可能的结果
-
3.试验结束后会出现哪一个结果是随机的(无法事先知道,也无法控制)
通常用字母EEE表示随机试验(以后简称试验)。
例如:
E1E1E1 :抛一枚硬币,观察正、反面出现的情况
E2E2E2 :掷一颗骰子,观察出现的点数
(2)基本事件ωωω(也称样本点):
一次试验可能出现的每一个直接的结果。也就是随机试验不能够再分解的结果。
如:
E1E1E1有两个基本事件:E1=E1 =E1={出现正面}, E2=E2=E2={出现反面}
E2E2E2有六个基本事件: Ei=Ei =Ei={出现 i 点},i=1,2,3,4,5,6i=1,2,3,4,5,6i=1,2,3,4,5,6
(3)样本空间ΩΩΩ:全体基本事件的集合。
如:E2的样本空间为 Ω={1,2,3,4,5,6}
(4)随机事件:
试验的每一个可能结果。用大写字母A,B,CA,B,CA,B,C 等表示
随机事件也就是样本空间的子集,即若干基本事件组成的集合。
如:在E2E2E2中,“出现偶数点”的事件可表示为A=2,4,6A= {2,4,6}A=2,4,6
(5)事件发生:
当事件A所包含的基本事件有一个出现,就说事件发生了,否则就说事件A未发生
(6)必然事件:一定发生的事件,也就是样本空间ΩΩΩ
(7)不可能事件:一定不发生的事件,记为ΦΦΦ
(8)事件包含:
如果事件AAA发生必然导致事件BBB发生.则称事件BBB包含事件AAA,记作A⊂BA ⊂ BA⊂B 或 B⊃AB ⊃ AB⊃A
(9)事件的和:
事件A与事件B至少有一个发生,这样的一个事件称为事件A与事件B的和或并,记为 AAA U BBB 或 A+BA + BA+B
(10)事件的积:
事件AAA与事件BBB同时发生,这样的事件称为事件A与事件B的积或交,记为 A∩BA ∩ BA∩B 或 ABABAB
事件的和与积可以推广到多个事件
(11)事件的差:
事件AAA 发生而事件BBB不发生,这样的事件称为事件AAA与事件BBB的差,记为A−BA-BA−B。
如A=2,4,6,B=2,3,A={2,4,6},B={2,3},A=2,4,6,B=2,3,则A−B=4,6A-B={4,6}A−B=4,6。
A−BA-BA−B就是AAA的基本事件中去掉含在BBB中的,余下的基本事件组成的事件。
(12)互斥事件:
若事件AAA与事件BBB不能同时发生(即AB=ΦAB=ΦAB=Φ),则称事件AAA与事件BBB为互不相容或互斥。若AAA与BBB互不相容,就是AAA与BBB不含有公共的基本事件
(13)对立事件(互逆):
若事件AAA与事件BBB有且仅有一个发生,且AAA U B=ΩB=ΩB=Ω,A∩B=ΦA ∩ B =ΦA∩B=Φ,称事件A与事件B互为对立事件或互逆事件。
3.样本空间、 事件和概率
-
样本空间 S 是一个集合,它的元素称为基本事件。
-
样本空间的一个子集被称为事件,根据定义,所有基本事件互斥。
-
概率:如果有一种事件到实数的映射 P{},满足:
-
(1) 对任何事件 A, P{A}≥0
-
(2) P{S}=1
-
(3) 对两个互斥事件, P{A∪B}=P{A}+P{B}
则可称 PAP{A}PA为事件 AAA 的概率。上述三条称为概率公理。
-
4.条件概率
设EEE为一试验,AAA和BBB为EEE中两事件,且 P(A)>0P(A)>0P(A)>0,则称P(AB)/P(A)P(AB)/P(A)P(AB)/P(A)为事件AAA发生的条件下事件BBB发生的条件概率,记作P(B∣A)P(B|A)P(B∣A),即P(B∣A)=P(AB)/P(A)P(B|A)= P(AB)/P(A)P(B∣A)=P(AB)/P(A)
5.全概率公式
-
定义
-
设试验EEE的样本空间为ΩΩΩ,事件A1,A2,……,AnA1,A2,……,AnA1,A2,……,An若满足:
-
1、两两互不相容
-
2、∑Ai\sum Ai∑Ai= Ω
-
3、P(Ai)P(Ai)P(Ai)>0
-
-
则称A1,A2,……,AnA1,A2,……,AnA1,A2,……,An为 ΩΩΩ 的一个划分(分割)
-
-
定理
- 设 ΩΩΩ为试验 EEE 的样本空间,AAA为EEE 的一个随机事件,B1,B2,……,BnB1,B2,……,BnB1,B2,……,Bn 为ΩΩΩ的一个划分,且有 P(Bi)>0P(Bi)>0P(Bi)>0,则有
P(A)P(A)P(A)=∑i=1nP(B i )P(A∣B i )\sum_{i=1}^{n}{P(B~i~)P(A|B~i~)}∑i=1nP(B i )P(A∣B i )
. - 证明:
P(A)P(A)P(A)=∑i=1nP(AB i )=∑i=1nP(B i )P(A∣B i )\sum_{i=1}^{n}{P(AB~i~)}=\sum_{i=1}^{n}{P(B~i~)P(A|B~i~)}∑i=1nP(AB i )=∑i=1nP(B i )P(A∣B i )
- 设 ΩΩΩ为试验 EEE 的样本空间,AAA为EEE 的一个随机事件,B1,B2,……,BnB1,B2,……,BnB1,B2,……,Bn 为ΩΩΩ的一个划分,且有 P(Bi)>0P(Bi)>0P(Bi)>0,则有
-
推论
- 设ΩΩΩ为EEE的样本空间,AAA为EEE的事件,B1,B2,……,BnB1,B2,……,BnB1,B2,……,Bn互不相容,且P(Bi)>0P(Bi)>0P(Bi)>0,∑i=1nB i ⊃A\sum_{i=1}^{n}{B~i~ ⊃A}∑i=1nB i ⊃A ,则
P(A)P(A)P(A)=∑i=1nP(B i )P(A∣B i )\sum_{i=1 }^{n}{P(B~i~)P(A |B~i~)}∑i=1nP(B i )P(A∣B i )
- 设ΩΩΩ为EEE的样本空间,AAA为EEE的事件,B1,B2,……,BnB1,B2,……,BnB1,B2,……,Bn互不相容,且P(Bi)>0P(Bi)>0P(Bi)>0,∑i=1nB i ⊃A\sum_{i=1}^{n}{B~i~ ⊃A}∑i=1nB i ⊃A ,则