快速幂算法

一：用处：

1.顾名思义，即快速计算幂。对于普通的pow函数，时间复杂度为O(n),因为有n个自身相乘嘛，但是对于快速幂呢，他可以将复杂度降为logn，快好多，这个logn咋算的呢，我没仔细想过，博主太菜了，见谅。

2.对于一个幂算出来极大的数，for example：2^200,这样的数，明显没办法用 long long /int来存放，假如要将该数对一个数取模，势必用到字符串操作方式，想想都麻烦，更别说敲代码了，再者，假如是对一个1e9+7这样大的数取模，则更是emmmm，反正博主太菜了，没想过怎么处理。这时候快速幂就派上用场了。再结合几个数学公式即可解决。

二：代码及解释：

这是我从别人博客复制过来的，因为懒得自己敲了。。

比如计算 3^11,因为11的二进制可表示为1011，则根据数学推理可知：

3^11=3^(2^3+2^1+2^0)=3^(2^3)*3^(2^1)*3^(2^0)

int powadvance(int a,int b){//a是3 b是11
    int ans=1,base=a;//ans是放答案的，base是2的n次方
    while(b!=0){//即b化为二进制后，没有被读取完时执行
        if(b&1!=0)//对化为二进制的b的最后一位检测，看他是不是0，是1的时候执行步骤
        　　ans*=base;//即按第三个等式从右到左的顺序依次出现从右到左的三个项
        base*=base;//对2的n次方进行更新
        b>>=1;//去掉化为二进制的b的最后一位二进制数，来更新b，即原先为1011，下一轮循环的时候为101
　 }
    return ans;
}

最好拿纸笔手算模拟一遍，比较好理解。

快速幂的算法就是如上所示了，再对他进行和取模操作合并

三：快速幂取模

1.数学背景：

 

运算规则

模运算与基本四则运算有些相似，但是除法例外。其规则如下：

1. (a + b) % p = (a % p + b % p) % p （1）

2. (a - b) % p = (a % p - b % p) % p （2）

3. (a * b) % p = (a % p * b % p) % p （3）

4.  a ^ b % p = ((a % p)^b) % p （4）

5. 结合律：

• ((a+b) % p + c) % p = (a + (b+c) % p) % p （5）

    ((a*b) % p * c)% p = (a * (b*c) % p) % p （6）

• 交换律：

  (a + b) % p = (b+a) % p （7）

    (a * b) % p = (b * a) % p （8）

• 分配律：

  (a+b) % p = ( a % p + b % p ) % p （9）

  ((a +b)% p * c) % p = ((a * c) % p + (b * c) % p) % p （10）

以上是百度百科复制来的，四条基本规则比较重要一些。由基本规则可知，若想对幂取模，可对快速幂做以下的修改。

long long quick(long long a,int b,long long c) //a是3，b是11，c是1e9+7 
{  
    long long ans=1;
    while(b!=0)  
    {  
        if(b&1!=0){
        	ans=(ans*a)%c;//不一样的地方，由基本规则3可得,手动模拟一波即可
		} 
        b>>=1;
        a=(a*a)%c;//由基本规则3可得
 
    }
    return ans;
}