[JZOJ5740] 幻想世界

最新推荐文章于 2023-12-23 22:12:34 发布

ZLTJohn

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分类专栏：多项式计数类问题

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/ZLTJohn/article/details/80426575

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本文探讨了一种涉及多项式卷积的复杂问题，并通过NTT优化递推式的方法进行解决。介绍了如何处理边界条件、如何分解问题并利用组合数学进行优化计算。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述

这里写图片描述

解题思路

发现自己还是不会卷积。
考虑暴力的递推式： $f[i][j]=(p*f[i-1][j]+q*f[i][j-1]+(p*\alpha+q*\beta)$ ，边界是 $f[0][j]=b[j]和f[i][0]=a[i]$ ，我们计 $inc=(p*\alpha+q*\beta)$ ，那么，我们直接考虑一个 $f[i][j]$ 的值，它是由许多位置的inc和a[i]和b[j]贡献过来的，然后他对答案的贡献还要乘上h的幂。我们分情况考虑。

对于inc：

我们枚举一个位置(x-i,y-j)对(x,y)的贡献
$f[x][y]=\sum_{i=0..x-1}\sum_{j=0..y-1}C_{i+j}^{i}*inc*p^i*q^j$
对答案的贡献： $\sum_{i=0..x-1}\sum_{j=0..y-1}C_{i+j}^{i}*inc*p^i*q^j*h^{(n+1)x}*h^{y}$
所有f对答案的贡献
$\sum_{x=1..n}\sum_{y=1..n}\sum_{i=0..x-1}\sum_{j=0..y-1}C_{i+j}^{i}*inc*p^i*q^j*h^{(n+1)x}*h^{y}$
$\sum_{i=0..n-1}\sum_{j=0..n-1}C_{i+j}^{i}*inc*p^i*q^j*\sum_{x=i+1..n}\sum_{y=j+1..n}h^{(n+1)x}*h^{y}$
$\sum_{i=0..n-1}\sum_{j=0..n-1}C_{i+j}^{i}*inc*p^i*q^j*\sum_{x=i+1..n}h^{(n+1)x}\sum_{y=j+1..n}*h^{y}$
$\sum_{i=0..n-1}\sum_{j=0..n-1}\frac{(i+j)!}{i!j!}*inc*p^i*q^j*\frac{h^{(n+1)(i+1)}\ \ \ \ (1-h^{(n+1)(n-i)}\ \ \ \ )}{1-h^{n+1}}*\frac{h^{j+1}\ (1-h^{n-j}\ )}{1-h}$
我们先令除了组合数的部分的含有i的项和含有j的项分别记为 $fa[i],fb[j]$ ，那么原式等于
$inc*\sum_{i=0..n-1}\sum_{j=0..n-1}(i+j)!*fa[i]*fb[j]$
这个用ntt就可以优化了。
具体的，设 $F[n]=\sum_{i=0..n}fa[i]*fb[n-i]$ ，算出F[]然后 $F[i]*=inc*i!$ 即可，答案贡献就把每一项算进去即可。

对于a[]：

考虑一个位置(x,0)对所有位置的贡献，注意不能给第0列贡献。
$\sum_{x=1..n}a_x\sum_{i=0..n}\sum_{j=1..n}C_{i+j-1}^{j-1}p^iq^jh^{(n+1)(x+i)+j}$
$\sum_{x=1..n}a_xh^{(n+1)x}\sum_{i=0..n}\sum_{j=1..n}\frac{(i+j-1)!}{i!(j-1)!}p^iq^jh^{(n+1)i}h^j$
$\sum_{x=1..n}a_xh^{(n+1)x}\sum_{i=0..n}\frac{(ph^{(n+1)}\ \ )^i}{i!}\sum_{j=1..n}\frac{(qh)^j}{(j-1)!}*(i+j-1)!$
设 $f[i]=\frac{(ph^{(n+1)}\ \ )^i}{i!}\sum_{j=1..n}\frac{(qh)^j}{(j-1)!}*(i+j-1)!$ ，那么一个位置x的贡献就是f的一个前缀和。
考虑如何算f。
设 $G[i]=\sum_{j=1..n}\frac{(qh)^j}{(j-1)!}*(i+j-1)!$
转化为如何快速求出每个g的值。
设 $fac[i]=i!,g[j]=\frac{(qh)^j}{(j-1)!}$
那么 $G[i]=\sum_{j=1..n}g[j]*fac[i+j-1]$
我们发现他们的下标不满足卷积形式，下标加起来是i+2*j-1的，那么考虑把g[]变换一下，使得下标和中的变量只含有i这一项。
$g'[n-j+1]=g[j]$
那么 $G[i]=\sum_{j=1..n}g[n-j+1]*fac[i+j-1]$ ，发现下标和恰好为n+i，那么有 $G[i-n]=G'[i]=\sum_{j=0..i}g[j]*fac[i-j]$ ，那么我们把 $G'$ 卷积出来，就可以得到G了。
此时我们就可以算出f，然后前缀和一下，枚举x，计算贡献。
此外，f(x,0)位置本身的贡献也要记进去。

对于b[]

和a[]是几乎一样的，只需要把 $ph^{n+1}和qh$ 交换一下，把a[]和b[]交换一下，就完全一样了。

我怎么搞了3h啊…

代码

#include<cstdio> 
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<map>
//开 O2！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！ 
using namespace std;
#define fo(i,j,k) for(i=j;i<=k;i++)
#define fd(i,j,k) for(i=j;i>=k;i--)
#define cmax(a,b) (a=(a>b)?a:b)
#define cmin(a,b) (a=(a<b)?a:b)
typedef long long ll;
typedef long long LL;
typedef double db;
const int N=1005+5,mo=998244353;
int ksm(int x,int y)
{
    int ret=1;
    while (y)
    {
        if (y&1) ret=1ll*ret*x%mo;
        y>>=1;
        x=1ll*x*x%mo;
    }
    return ret;
}
int n,h,alp,bet,p1,p2,q1,q2,p,q,inc,f[N][N],i,j,ph,ans;
int main()
{
    freopen("dream.in","r",stdin);
//  freopen("dream.out","w",stdout);
    scanf("%d %d %d %d",&n,&h,&alp,&bet);
    scanf("%d %d %d %d",&p1,&p2,&q1,&q2);
    p=1ll*p1*ksm(p2,mo-2)%mo;
    q=1ll*q1*ksm(q2,mo-2)%mo;
    fo(i,1,n) scanf("%d",f[i]+0);
    fo(i,1,n) scanf("%d",f[0]+i);
    inc=(1ll*p*alp+1ll*q*bet)%mo;
    fo(i,1,n) fo(j,1,n)
        f[i][j]=(1ll*p*f[i-1][j]+1ll*q*f[i][j-1]+inc)%mo;
    ph=1;
    fo(i,0,n) fo(j,0,n)
    {
        ans=(ans+1ll*f[i][j]*ph)%mo;
        ph=1ll*ph*h%mo;
    }
    printf("%d\n",ans);
}