由numpy.arange函数看双精度浮点数的精度问题

1.发现问题

想得到一个长度为57的、从0开始的、间隔为0.01的数组，想当然地如下coding，结果意料之外：

>>> import numpy as np
>>> t1 = np.arange(0, 0.01*57, 0.01)
>>> t1.shape
(58L,)

但是如果用同样的方法，可以得到正确的长度为58的、从0开始的、间隔为0.01的数组，结果如下：

>>> t2 = np.arange(0, 0.01*58, 0.01)
>>> t2.shape
(58L,)

到底是什么出了问题？

2.浮点数的精度问题

查找了一些资料，比较乱，通过总结和整理，列出一些关键内容，以便理解为什么会出现上述问题。

（1）在计算机中用二进制表示小数

• python中的浮点型（float）类似于C语言中的double类型（我觉得其实就是一样的，毕竟标准的python是用C写的），是双精度浮点型，可以用直接的十进制或科学计数法表示。每个双精度浮点数占8个字节（64位），完全遵守IEEE754号规范（52M/11E/1S），即其中的52位用于表示底数，11位用于表示指数，剩下一个位表示符号。看上去相当完美，但是实际精度依赖于机器架构和创建python解释器的编译器。

• 我们将0.1表示为二进制的形式，如下计算，可以看到0.1在十进制下明明是一个有限小数，在二进制下表示却是无限循环的（实际上0.0~0.9这十个小数中只有0.0和0.5在二进制形式表示下是有限的）：
  

  • 根据IEEE754标准，有效位数只能表示52位，在python下，0.1其实是这样表示的（python没有提供.bin函数，只有.hex函数）：

    >>> (0.1).hex()
    '0x1.999999999999ap-4'

  • 0x表示十六进制，p-4表示小数点要向左移动4位；IEEE754标准中的52位在这里是不包括小数点前面的那个1的，所以将'0x1.999999999999ap-4'展开，结果如下：

    
    # 原表示：
    
    0.0001 1001 1001 1001 1001