HDU5015_233 Matrix(矩阵快速幂，递推转矩阵)

最新推荐文章于 2020-12-04 10:49:13 发布

Coonger

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分类专栏： # 矩阵快速幂

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题意：

给定矩阵的第一行和第一列，其余每项 $a [i] [j] = a [i - 1] [j] + a [i] [j - 1]$ ，求 $a_{n,m}\% 10000007$

数据范围：

$n<=10,m<=10^9，0<=a_{1,0},a_{2,0},...,a_{n,o}<2^{31}$

思路：

首先第0行为0, 233, 23333...，为了使递推式 $a_{0,j}=10*a_{0,j-1}+3$ 成立，把第一个0变为23，即 $a_{0,0}$ 视作23。

第 0 行， $a_{0,j}=10a_{0,j-1}+3$
第 1 行， $a_{1,j}=a_{1,j-1}+a_{0,j}=a_{1,j-1}+10a_{0,j-1}+3$
第 2 行， $a_{2,j}=a_{2,j-1}+a_{1,j}=a_{2,j-1}+a_{1,j-1}+10a_{0,j-1}+3$
… …
第 n 行， $a_{n,j}=\sum_{i=1}^{n}a_{i,j-1}+10a_{0,j-1}+3$
重点是怎么构造矩阵呢？
线代知识，把等式左边构成一列向量，等式右边的系数就是系数矩阵(也就是所要求的构造矩阵)。当时在求大数fibonacci项时， $f_n=f_n{-1}+f_{n-2}$ 只需构造一个2*2矩阵即可。而这里最后存在非线性项+3,要给左边的列向量，n + 1 行增广一个常数 1，共 n + 2 行，

将上面的递推写成矩阵形式
在这里插入图片描述
可以看出后一列可由前一列递推得来。要求 $a_{n,m}$ ，也就是第 m 列的情况，递推得：

矩阵的 m 次幂可用矩阵快速幂解决。
最后 $a_{n,m}=\sum_{j=0}^{n+1}ans[n][j] * col[j]$

input:
1 1
1
2 2
0 0
3 7
23 47 16
output:
234
2799
72937

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring> 
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=12; //矩阵最多 12 阶 
const int MOD=10000007;
int col[maxn]; //矩阵第一列 
int n,m;
struct matrix{
	ll a[maxn][maxn];
	void init()
	{
		memset(a,0,sizeof a);
		for(int i = 0; i < n + 2; i++)
			a[i][i] = 1;
	} 
};
matrix mul(matrix p, matrix q)
{
	matrix ans;
	for(int i = 0; i < n + 2; i++)
	{
		for(int j = 0; j < n + 2; j++)
		{
			ans.a[i][j] = 0;
			for(int k = 0; k < n + 2; k++)
				ans.a[i][j] = (ans.a[i][j] + p.a[i][k] * q.a[k][j])%MOD;
		}
	}
	return ans;
}
matrix qpow(matrix tag, int k)  //矩阵快速幂 
{
	matrix ans;
	ans.init();
	while(k)
	{
		if(k&1)
			ans = mul(ans, tag);
		tag = mul(tag, tag);
		k>>=1;
	}
	return ans;
}
int main()
{
	while(cin>>n>>m)
	{
		col[0]=23; //输入第一列 
		for(int i = 1; i <= n; i++)
			cin>>col[i];
		col[n+1]=1;
		
		matrix ans; //开始构造矩阵 
		ans.init();
		for(int i = 0; i <= n; i++) //纸上写好，往里填就可以
		{
			ans.a[i][0]=10;
			for(int j = 1; j <= i; j++)
				ans.a[i][j] = 1;
			ans.a[i][n+1] = 3;
			ans.a[n+1][i] = 0;
		}
		ans.a[n+1][n+1] = 1;
		
		ans = qpow(ans,m); //ans的 m 次幂 
		ll res = 0;
		for(int j = 0; j < n + 2; j++)  //第 n 行累加求和 
			res = (res + ans.a[n][j] * col[j])%MOD;
		cout<<res<<endl;
	}
	return 0;
}