云模型和Logistic回归——MATLAB在数学建模中的应用（第2版）

YuNlear

已于 2022-07-28 14:12:06 修改

阅读量986

点赞数 1

CC 4.0 BY-SA版权

分类专栏：数学建模笔记文章标签： matlab 机器学习开发语言数据分析 big data

于 2022-07-24 19:46:24 首次发布

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/YuNlear/article/details/125963287

数学建模笔记专栏收录该内容

9 篇文章

订阅专栏

本文介绍了数据建模中的云模型和MATLAB实现，包括云模型的基本概念如期望、熵和超熵，以及正向和逆向云发生器的工作原理。同时，讲解了Logistic回归在定性变量分析中的应用，并展示了如何将Logistic回归问题转化为线性回归问题。MATLAB程序示例提供了云模型生成和图像显示的实现方法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

数据建模及MATLAB实现(一)

随着信息技术的发展和成熟，各行业积累的数据越来越多，因此需要通过数据建模的方法，从看似杂乱的海量数据中找到有用的信息。

云模型

云模型由我国李德毅院士首创，属于不确定性人工智能范畴，主要用于定性和定量之间的相互转换。

云模型的基本单元被称为“云”或者“云滴”。“云”是指其在论域上的一个分布，可以用联合概率的形式 $(x,μ)(x,\mu)$ 类比。

云模型通过三个数据来表示其特征：

期望：云滴在论域空间分布的期望，用Ex表示。
熵：不确定性程度，由离群程度和模糊程度共同决定，用En表示。
超熵：度量熵的不确定性，即熵的熵，用He表示

云有两种发生器：正向云发生器和逆向云发生器，
分别生成足够的云滴和计算云滴的云数字特征（ $E x, E n, He$ ）。

正向云发生器的触发机制：

生成以 $E n$ 为期望，以 $He^2$ 为方差的正态随机数 $En^{'}$ 。
生成以 $E x$ 为期望，以 $En^{'2}$ 为方差的正态随机数 $x$ 。
计算隶属度也就是确定度 $μ=exp(−(x−Ex)22En′2)\mu=exp(-\frac{(x-Ex)^2}{2En^{'2}})$ ,则 $(x,μ)(x,\mu)$ 便是相对于论域 $U$ 的一个云滴。

逆向云发生器的触发机制：

计算样本均值 $X‾\overline{X}$ 和方差 $S^{2}$ 。
$Ex=X‾Ex=\overline{X}$
$En=π2×1nΣ∣x−Ex∣En=\sqrt{\frac{\pi}{2}} \times \frac{1}{n}\Sigma |x-Ex|$
$He=S2−En2He=\sqrt{S^2-En^2}$

云模型的MATLAB程序设计

云模型生成程序 cloud_model.m 如下

function [x,y,Ex,En,He]=cloud_model(y,n)
Ex=mean(y);
En=mean(abs(y-Ex))*sqrt(pi/2);
He=sqrt(var(y)-En^2);%var()返回方差值
for q = 1:n
    Enn=randn(1)*He+En;%生成方差为He^2,期望为En的正态随机数
    x(q)=randn(1)*Enn+Ex;
    y(q)=exp(-(x(q)-Ex)^2/(2*Enn^2));
end

云模型图像显示程序 DrawCloud.m 如下

function DrawCloud(Y,n)
[x,y,Ex,En,He] = cloud_model(Y,n);
plot(x,y,'r.');
xlabel('X/单位');
ylabel('Y/单位');
disp(['Ex = ',num2str(Ex)]);
disp(['En = ',num2str(En)]);
disp(['He = ',num2str(He)]);

在评价时通过云模型的数字特征( $E x, E n, He$ )来比较判断

Logistic回归

在回归分析中，因变量 $y$ 存在两种情况，当 $y$ 是一个定量的变量时，这时就用regress函数进行回归分析；而当 $y$ 是一个定性的变量时，就需要使用 $L o g i s t i c$ 回归。

$L o g i s t i c$ 回归主要用于研究现象发生的概率 $P$ ，比如股票的涨跌，公司成功或者失败的概率，以及概率与哪些因素相关。

$L o g i s t i c$ 回归的一般形式为：

$P(Y=1∣x1,x2,⋅⋅⋅,xk)=exp(β0+β1x1+⋅⋅⋅+βkxk)1+exp(β0+β1x1+⋅⋅⋅+βkxk)P(Y=1|x_1,x_2,···,x_k)=\frac{exp(\beta_0+\beta_1x_1+···+\beta_kx_k)}{1+exp(\beta_0+\beta_1x_1+···+\beta_kx_k)}$

其中， $β0,β1,⋅⋅⋅，βk\beta_0,\beta_1,···，\beta_k$ 为类似多元线性回归模型中的回归系数。对该式进行对数变换，可得：

$lnP1−P=β0+β1x1+⋅⋅⋅+βkxkln\frac{P}{1-P}=\beta_0+\beta_1x_1+···+\beta_kx_k$

就可以将 $L o g i s t i c$ 回归问题转换为线性回归问题。
但在实际问题中，存在P的取值仅有0和1两个值，而导致了取对数后无意义的情况。因此定义一个单调连续的概率函数 $π\pi$ ,使得

$π=P(Y=1∣x1,x2,⋅⋅⋅,xk)\pi=P(Y=1|x_1,x_2,···,x_k)$

将 $π\pi$ 代入，此时的式子虽然形式相同，但 $π\pi$ 是连续函数，只要对原始数据进行合理映射，就可以用线性回归方法得到回归系数。

Logistic回归MATLAB程序设计

function [b,val]=Logistic(X,Y,XE)
n=size(Y,1);
Y1=zeros(sizeof(Y,1),1);
%% 将P映射为pi
for i=1:n
    if Y(i)==0
        Y1(i,1)=0.25;
    else
        Y1(i,1)=0.75;
    end
end
%% 多元线性回归
X1=ones(size(X,1),1);
X0=[X1,X];
Y0=log(Y1./(1-Y1));
b = regress(Y0,X0);
%% 模型验证
%带回原来的表达式进行计算