乱侃《深入理解计算机系统》——信息的表示和处理Day12-优快云博客

0.0、关于整数除法

在了解完整数乘法后，我们知道了整数乘法的本质是乘数个被乘数相加。同理除法的本质是被除数可以减去多少个除数。

在计算机整数数据类型中，可以将乘数逻辑左移来得到乘以2的幂的结果。也可以用将被乘数分别逻辑左移与乘数相对应的多个2的幂再相加，得到乘以任意常数的结果。

与乘法类似，除法可以将被除数算数右移来得到除以2的幂的结果。但是却无法可乘法一样使用移位的方法来得到除以任意常数的结果。

也许是因为除以任意常数在业界还没有定论，也许其太过复杂而篇幅有限无法展开来讲，又也许会在后面的内容再详细讲解。书中讲到除以2的幂后就戛然而止，未对整数再进行更深入的讲解。介于全书内容还很多，我也不再深挖了。今年是蛇年，再深挖恐怕真的要挖到猴年马月去了。

2.3.7、除以2的幂

整数除法的核心在与舍入到零（Rounds toward zero），在日常生活中更加常见的翻译为向零舍入。所谓向零舍入，就是为正数时向下舍入，为负数时向上舍入。“舍入”就是四舍五入的“舍入”，但是向零舍入并不是四舍五入，而是无论小数是几都舍弃小数。比如：3.14向零舍入为3；-3.14向零舍入为-3；对与我们人类来说这似乎是理所应当，但是对于计算机开来说却不是这样。对于计算机来说，向上舍入和向下舍入需要用到不同的方法。

先从相对简单的无符号除法来看，无符号除法没有负数部分所以也就没有向上舍入。我们先来通过几个例子来看看被除数12340逻辑右移k位与除以2^k向上舍入的结果是否相同。如下表

x	k	>>k（二进制）	十进制	12340/2^k
12340	0	0011000000110100	12345	12340.0
	1	0001100000011010	6170	6170.0
	4	0000001100000011	771	771.25
	8	0000000000110000	48	48.203125

从例子中可以看出x>>k与x/2^k有着相同的结果，但是我们不能以偏概全，需要严谨的数学推导来证明这个关系是完全可行的。

假设x'=x>>k；x''=x & 2^k - 1；

则有x =（2^k）x' + x''；

因为 0 <= x'' < 2^k，为余数，将被舍弃；

所以有x/2^k 向下舍入为 x'。

而在补码除法中需要用到算数移位，这在以前补码的数据类型大小扩展中详细讨论过。在正整数部分与无符号整数相同可直接使用x>>k对x/2^k进行计算，而在负整数部分却有不同，因其任然会啊使商向下舍入。如下表

x	k	>>k（二进制）	十进制	12340/2^k
-12340	0	1100111111001100	-12345	12340.0
	1	1110011111100110	-6170	6170.0
	4	1111110011111100	-772	-771.25
	8	1111111111001111	-49	-48.203125

可以看出在可以整除，即不需要舍入的时候结果是符合预期的，但是当需要舍入时，其结果依旧是向下摄入。那么从数学的角度来看是否证明这是普遍现象呢？

假设x'=x>>k；x''=x & 2^k - 1；

则有x =（2^k）x' + x''；

因为 0 <= x'' < 2^k，为余数，将被舍弃；

所以有x/2^k 向下舍入为 x'。

可以看得出来与无符号整数的逻辑没有什么区别，区别主要体现在位表示上。

所以在做补码的负数除法计算时不能只使用单纯的算术右移，还需要在移位之前对x进行偏置，其公式为(x+(1<<k)-1)>>k。这个公式所表达的含义是，如果有余数，则结果加1。可能不太好理解，我们来拆开来看，(1<<k)-1表示除数-1，就得到了一个k-1位到0位全是1的向量，这也就代表着，x的k-1位到0位只要不是0，就会发生进位。而x的k-1位到0位只要不是0就意味着有余数需要舍入。而在x的k-1位到0位为0时，意味着没有余数不需要舍入。示例如下

x	k	>>k（二进制）	十进制	12340/2^k
-12340	0	1100111111001100	-12345	12340.0
	1	1110011111100110	-6170	6170.0
	4	1111110011111101	-771	-771.25
	8	1111111111010000	-48	-48.203125