判断递归执行的次数

链接:https://www.nowcoder.com/test/question/done?tid=6762467&qid=1306#summary
来源:牛客网

How many times is f() called when calculating f(10)?
1
2
3
4
5
int f(int x) {
    if(x <= 2)
        return1;
    returnf(x - 2) + f(x - 4) + 1;
}


分析过程如下:

针对这样的题目在别的地方看到的比较好的方法是用树来表示
             10
          8       6
       6    4   4    2
      4  2  2 0 2 0  
    2   0

图中树的节点数是15,所以是调用了15次




范例2:
class program
 {
     static void Main(string[] args)
     {
         int i;
         i = x(x(8));
     }
     static int x(int n)
     {
         if (n <= 3)
             return 1;
         else
             return x(n - 2) + x(n - 4) + 1;
     }
 }
递归算法x(x(8))需要调用几次函数x(int n)?




### 递归算法中计算运算次数递归算法中,计算运算次数主要依赖于两个因素:递归调用的总次数以及每次递归过程中执行的操作数量。具体来说: #### 1. 递归调用次数 每进行一次递归调用意味着进入一个新的函数实例,直到满足终止条件为止。对于给定输入规模 \( n \),如果每次递归都将问题分解成更小子问题,则总的递归层数通常取决于初始参数\( n \) 的变化规律。 例如,在简单线性递减的情况下(即每次递归时减少固定量),当从 \( n \) 开始逐层递减至某个基础情况(如 `n=0` 或者其他边界值)结束时,整个过程会经历大约 \( O(n) \) 层递归[^4]。 #### 2. 单次递归内的操作数 除了考虑递归本身的深度外,还需要关注每一层递归内部所完成的工作量。这包括但不限于基本算术运算、比较判断以及其他辅助性的处理逻辑等。这些局部工作往往具有固定的开销或者是与当前子问题大小呈某种特定关系的时间消耗。 以幂运算为例 (`x^n`) ,假设采用最朴素的方式实现——通过连续相乘来达到目标指数效果,那么每一次递归仅涉及单个乘法操作,其时间复杂度可以视为常数级 \( O(1) \)。 因此,综合上述两点来看,该场景下的总体时间复杂度为两者之积,也就是 \( O(n)*O(1)=O(n)\) 。这意味着随着输入数值的增长,程序运行所需时间大致呈现线性增长趋势[^2]。 ```python def power(x, n): if n == 0: return 1 else: return x * power(x, n - 1) print(power(2, 3)) # 输出8 ```
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