Bresenham直线算法

1.Bresenham直线算法

Bresenham直线算法是一种用于将两点之间的线段绘制在屏幕上的算法。它的特点是只用基本的加法、减法和比较操作就可以完成，是一种高效的绘线算法。是计算机图形学领域使用最广泛的直线扫描转换算法，其核心思想是由误差项符号决定下一个像素点取右边的一个点还是右上的一个点。

1.1 算法流程

下面是Bresenham直线算法的流程图：

前提条件k∈[0,1]，直线在x方向上每次增量为[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-GopOr3Cp-1742291345243)(https://latex.youkuaiyun.com/eq?%5CDelta%20x%3D1)]，在y方向上每次的增量为[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-UAfBBItp-1742291345245)(https://latex.youkuaiyun.com/eq?%5CDelta%20y%3Dk)]。通过一个变量d将y方向上的累计增量记录下来，当d大于1时，标记点m进1，并对变量d进行-1操作使得d的范围永远保持在[0,1]之间。并根据d的范围确定最终的y值，当[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-0SOjSNGx-1742291345245)(https://latex.youkuaiyun.com/eq?d%5Cleq%200.5)]时，则y保持不变；当[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-PTvTShCC-1742291345246)(https://latex.youkuaiyun.com/eq?d%3E0.5)]时，y加1。

上述已经能够完成y值的判定，但是存在两个问题：k可能为浮点数、d每次需要同0.5这一浮点数比较大小。由于计算机计算整数的效率比浮点数速度快，因此要对上式进行优化改进，主要通过两步换元。

1.2 Bresenham算法实现

具体步骤如下：

1. 输入直线起点 $(x_0,y_0)$ 和终点 $(x_1,y_1)$。
2. 计算直线斜率 $k=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}$。
3. 如果 $|k|<1$，则沿$x$轴递增来计算每个$x$值的对应$y$值；否则，沿$y$轴递增来计算每个$y$值的对应$x$值。
4. 对于每个计算的$x$值或$y$值，将其四舍五入到最近的整数，并将其作为绘制的坐标。

计算绘制点时，通过检查与当前位置最接近的格子中代表直线的中心的位置来完成。具体来说，在每一步迭代中，使用函数$f(x,y)$来表示距离直线的理论路径最接近的点的距离:

$$f(x,y)=(y-y_i)x+(x_i-x)+b$$

其中 $b$ 是为了处理负斜率而引入的常量。然后假设当前绘制的位置为 $(x_j,y_j)$，则我们可以算出下一个可能的点为：

$$f(x_j+1,y_j+\frac{1}{2})=k-(y_j+\frac{1}{2})+(x_j+1)+b$$

$$f(x_j+1,y_j-\frac{1}{2})=k-(y_j-\frac{1}{2})+(x_j+1)+b$$

那么，我们可以根据这两个点的距离去判断哪个点更接近直线，更接近的点将作为下一个绘制的点；当相距相等时，两个点都将作为下一个绘制的点。在下一步中，我们按照相同的方式计算下一个点。

最简单的一种情况：直线位于第一象限

1. 设直线起点终点分别为(x0,y0)、(x1,y1)，直线方程为y=kx+b，k=(y1-y0)/(x1-x0)

2. 设当前像素点为(xi,yi)，当x每次增加一个像素点时下一个像素点坐标为(xi+1,yi)或(xi+1,yi+1)

3. 下一个点坐标由直线在xi+1处与yi、yi+1的距离d1、d2决定，d1=y-yi=kx+b-kxi=k(xi+1)+b-yi,d2=(yi+1)-y=yi+1-[(k(xi+1)+b)]

如果d1-d2>0，则下一个像素点坐标为(xi+1,yi+1)，否则为(xi+1,yi)

4. 令Pi=(d1-d2)Δx，将k=Δy/Δx带入Pi得
   Pi=2xiΔy-2yiΔx+2Δy+(2b-1)Δx
   d1-d2是用于判断符号的误差项，因为在第一象限，所以Δx恒大于0，Pi仍可用于判断符号的误差，且计算仅包含整数运算，更利于计算机运算

5. ∵Pi=2xiΔy-2yiΔx+2Δy+(2b-1)Δx
   +1=2(xi+1)Δy-2(yi+1)Δx+2Δy+(2b-1)Δx
   ∴ Pi+1=Pi+2Δy-2(yi+1-yi)Δx
   若取右上方像素点，则yi+1-yi=1，则Pi+1=Pi+2Δy-2Δx
   若取右边像素点，则yi+1-yi=0，则Pi+1=Pi+2Δy

6. 求误差的初值P0： ∵y=kx+b，∴b=yi-kxi，将b，k=Δy/Δx，i=0代入Pi=2xiΔy-2yiΔx+2Δy+(2b-1)Δx
   解出结果为P0=2Δy-Δx。

1.3matlab中应用

Bresenham直线算法是一种经典的在计算机图形学中用于画直线的算法。在Matlab中，可以通过以下步骤实现该算法：

1. 定义起点和终点坐标。
2. 计算直线斜率，如果斜率大于1，则将坐标轴旋转90度。
3. 计算起点和终点的坐标差值，得到deltax和deltay。
4. 定义误差初始值，将其设为deltay/2。
5. 遍历x的取值范围，对于每个x，计算出对应y的值。
6. 每当x+1时，根据误差值调整y的值。具体地，如果误差大于等于0.5，则将y+1或-1，并将误差减去1。
7. 将每个点的坐标保存到一个数组中，并画出直线。

下面是一个使用Bresenham直线算法在Matlab中画直线的示例代码：

% 定义起点和终点坐标
x0 = 1; y0 = 1; x1 = 11; y1 = 7;

% 计算直线斜率
dx = x1 - x0; dy = y1 - y0;
rotate_axis = false;
if abs(dy) > abs(dx)
    rotate_axis = true;
    [x0, y0] = swap(x0, y0);
    [x1, y1] = swap(x1, y1);
    [dx, dy] = swap(dx, dy);
end
if x0 > x1
    [x0, x1] = swap(x0, x1);
    [y0, y1] = swap(y0, y1);
end

% 计算坐标差值和误差
deltax = x1 - x0;
deltay = abs(dy);
error = deltax / 2;
y = y0;
yd = sign(dy);

% 遍历x的取值范围，计算每个对应y的值
n = deltax + 1;
coords = zeros(n, 2);
for x = x0:x1
    if rotate_axis
        coords(x-x0+1,:) = [y, x];
    else
        coords(x-x0+1,:) = [x, y];
    end
    error = error - deltay;
    if error < 0
        y = y + yd;
        error = error + deltax;
    end
end

% 画出直线
plot(coords(:,1), coords(:,2));
axis equal;

注意，在这个示例代码中，swap函数是一个用于交换两个变量值的函数。

这样，通过Bresenham直线算法，我们就可以在Matlab中画出直线了。

1.4 算法优势

Bresenham直线算法作为高效的绘线算法，具有以下优势：

1. 只需要基本的加法、减法和比较操作。
2. 相较于其他算法，Bresenham直线算法的计算量更小，能够在计算机性能比较差的设备上运行。
3. 该算法可以用于硬件实现，因为硬件中只有加法器、减法器和比较器，而没有乘法器和除法器等运算器件，Bresenham直线算法可以轻松地实现硬件化。
4. 由于不需要使用计算机库函数，该算法的执行效率更高，具有比较快的绘制速度，特别是在处理大量直线时表现得更加突出。

综上所述，Bresenham直线算法具有较高的效率和精确性，能够适用于各种计算机图形学应用场景。

1.5 对比以往方法的改进和优化

相比于传统算法，Bresenham直线算法具有以下一些显著的改进和优化：

1. 运行速度更快：Bresenham直线算法是一种基于2个整数参数的算法，使用整数计算并且不需要除法或乘法。相比于传统算法，Bresenham直线算法计算量更小、运行速度更快、效率更高。
2. 适用性广：Bresenham直线算法适用于常见的2D几何形状（如矩形、直线、多边形等），广泛应用于游戏、CAD、图像处理等各个领域。
3. 绘图质量高：Bresenham直线算法可以保证绘制的直线在垂直或者水平方向的边缘上，看起来更加准确，更少的偏差。
4. 像素数量控制方便：Bresenham直线算法可以根据情况调整绘制的像素个数，适用于各种像素密度的屏幕。

综上所述，Bresenham直线算法相比传统方法具备更高的效率和更好的绘图质量，可以更好地满足各种计算机图形学应用的需要。

1.6 算法改进和缺陷

Bresenham直线算法是一种经典的直线绘制算法，虽然效率高，但也存在一些缺陷，具体如下：

1. 算法仅适用于离散化的屏幕坐标，无法与真实世界坐标系统对接。
2. 算法中的等式出现小数点，处理起来不够方便，并且容易导致精度问题。
3. 算法中对于斜率大于1的情况，需要多次交换$x$和$y$，导致算法效率略低。

针对缺陷1，该算法可以与其他算法结合使用。例如可以使用该算法绘制出近似的曲线，而其他算法可以在此基础上对曲线进行平滑处理，从而实现更加自然的效果。另外，可以通过合理的坐标变换将离散的屏幕坐标转换为真实世界的坐标。

针对缺陷2，可以使用将等式改写为整数计算的方法，从而避免了小数点的问题，并且提高了算法的效率。

针对缺陷3，可以将该情况单独处理，从而避免多次交换$x$和$y$的问题，以提高算法的效率。

综上所述，Bresenham直线算法虽然存在缺陷，但这些缺陷并不是致命的，可以通过一定的手段进行改进和优化，从而更好地满足应用需求。

2.个人感想及算法改进

通过查阅文献和了解Bresenham直线算法的理论基础和应用，我认为该算法在绘制直线方面确实具有很强的效率和鲁棒性，而且应用领域也非常广泛。然而，该算法在处理斜率较大的直线时，需要多次交换$x$和$y$的操作，操作次数较多，有一定的影响算法效率的缺点。同时，在处理曲线等非直线形状时，该算法的表现也相对较弱，需要较大的改进空间。

针对以上缺点，我认为可以从以下方面对算法进行改进：

1. 对斜率较大的情况进行单独处理，以减少交换$x$和$y$的操作次数，从而提高算法效率。
2. 对于非直线形状的处理，可以借鉴Bezier曲线等其他算法来进行改进和优化，以提高算法的适用性和精度。
3. 在Bresenham算法的基础上，结合机器学习等技术，优化算法效率和精度，从而提高算法在现代计算机图形学领域中的应用价值。

综上所述，Bresenham直线算法虽然已经非常成熟，但仍然可以从不同的角度进行改进和优化，以满足不同的计算机图形学应用场景的需求。而在具体实现改进算法的过程中，我们需要在理论和实践中较好地平衡，以确保算法的鲁棒性、精度和效率。