Bresenham直线生成算法详解

Curz酥

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分类专栏：计算机图形学

于 2022-09-15 11:41:28 首次发布

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基本思想

比较从理想直线到位于直线上方的像素的距离t和相邻的位于直线下方的像素的距离s，根据距离误差项的符号确定与理想直线最近的像素，如下图所示：

判断 s-t 的大小

已知当前的像素的中心点坐标为（xi,yi）,根据 s-t 的值来判断下一步的点所在位置。详细计算推导过程如下：

$\because$ 设位于s、t之间直线的坐标（x,y），得到 $s=y-y_{i} , t=y_{i}+1-y$ ，

$\therefore$ $s-t=y-y_{i}-(y_{i}+1-y)=2y-2y_{i}-1$

$\because$ $x_{i}=x_{i+1}$ 时，真实的直线y值为： $y=m\left ( x_{i}+1 \right )+b$ ，

$\therefore$ $2y-2y_{i}-1=2(mx_{i}+m+b)-2y_{i}-1$

$\because$ m代表直线的斜率(slope)，故 $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}$ ,

$\therefore$ 在原式两边同时乘上 $\Delta x$ ，原式 = $\Delta x(s-t)=2\Delta yx_{i}+2\Delta y+2\Delta xb-2\Delta xy_{i}-\Delta x$ ，

$\because$ 我们的目的是判断 s-t 是大于0的还是小于0的，且由于 $\Delta x$ 恒大于0，所以我们可以令

$d_{i}=\Delta x(s-t)$ ，此时 $d_{i}$ 与s-t 正负方向一致，可以用来代替 s-t 来判断其大小。由于判断的是正负性，所以一些已知项可以当成常数C来看。

$\therefore$ $d_{i}=2\Delta yx_{i}-2\Delta xy_{i}+C$

此时 $d_{i+1}=2\Delta yx_{i+1}-2\Delta xy_{i+1}+C$

联立两个式子，注意代入 $x_{i+1}=x_{i}+1$ ，然后求 $d_{i+1}-d_{i}$ ，结果得到：

$d_{i+1}-d_{i}=2\Delta y-2\Delta x\left ( y_{i+1}-y_{i} \right )$

$\because$ 当我们选择直线上方的点的话，那么 $d_{i}>0$ ， $y_{i+1}-y_{i}=1$ ，此时

$d_{i+1}=d_{i}+2(\Delta y-\Delta x)$ ；

反之 $d_{i+1}=d_{i}+2\Delta y$ 。

$\therefore$ 最终推出以下式子：

$d_{i+1}=\left\{\begin{matrix} d_{i}+2(\Delta y-\Delta x) , d_{i}\geq 0 \\\\ d_{i}+2\Delta y , d_{i}< 0 \end{matrix}\right.$

此时 $d_{i+1}$ 就代表了 $s-t$ 的正负性，当 $d_{i}\geq 0$ ，代表了 s 比 t 大，所以要取上面的一格，即 $y_{i+1}=y_{i}+1$ ; 反之取的格子位置不变，即 $y_{i+1}=y_{i}$ 。

接下来看一道例题，来体会一下breseham算法的应用。

例题

首先先画好直线段：

接着通过求 $x,y,d_{i}$ 三个变量的值来确定像素的坐标位置：

第一个像素点位置就是起点，即(0,0)， $x_{1}=0,y_{1}=0$

初始的误差值 $d_{1}$ ，由前面的式子 $d_{i}=2\Delta yx_{i}+2\Delta y+2\Delta xb-2\Delta xy_{i}-\Delta x$ ，令 i = 1，

得:

$d_{1}=2\Delta yx_{1}+2\Delta y+2\Delta xb-2\Delta xy_{1}-\Delta x=2\Delta yx_{1}+2\Delta y+2\Delta xb-2\Delta x(\frac{\Delta y}{\Delta x})-\Delta x=2\Delta y-\Delta x$

所以得值 $d_{1}$ = $2\Delta y-\Delta x$ = -1。

综上第一个点，三个参数是 $x_{1}=0,y_{1}=0,d_{1}=-1$ 。

第二个点，x一定往右一格，所以此时 $x_{1}=1$ 。

因为上一格求得的误差 $d_{1}=-1< 0$ ，所以此时 $y_{i+1}=y_{i}$ ，即 $y_{2}=0$ 。

由于 $d_{1}< 0$ ，故 $d_{2}=d_{i}+2\Delta y=3$ 。

综上第二个点，三个参数是 $x_{2}=1,y_{2}=0,d_{2}=3$ 。

第三个点，x一定往右一格，所以此时 $x_{2}=2$ 。

因为上一格求得的误差 $d_{2}=3> 0$ ，所以此时 $y_{i+1}=y_{i}+1$ ，即 $y_{3}=1$ 。

由于 $d_{2}> 0$ ，故 $d_{3}=d_{i}+2(\Delta y-\Delta x)=-3$ 。

综上第三个点，三个参数是 $x_{2}=2,y_{2}=1,d_{3}=-3$ 。

依次类推······

结果如图：

得到的坐标依次为(0,0) (1,0) (2,1) (3,1) (4,2) (5,2)。

根据坐标填充像素：

此时，breseham算法生成直线像素已完成。

代码描述(C语言伪代码)

//Bresenham
void Bes_line(int x0,int y0,int x1,int y1){
	int dx,dy,h,x,y;
	dx=abs(x0-x1);
	dy=abs(y0-y1);
	h=2*dy-dx;
	x=x0;
	y=y0;

	glColor3f(1.0, 0.0, 0.0);
    glBegin(GL_POINTS);  
    glVertex2f(x,y);	
	while (x<x1)
	{
		if(h<0)  h+=2*dy;
		else{
			h=+2*(dy-dx);
			y++;
		}
		glVertex2f(x,y);		
		x++;
	}
	glEnd();
}