Bresenham布雷森汉姆直线算法

城南巷角

已于 2024-12-20 15:58:01 修改

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分类专栏：算法文章标签：算法单片机 c语言 stm32

于 2024-12-18 17:20:10 首次发布

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此文根据布雷森汉姆直线算法的维基百科理解而来。

简介

布雷森汉姆直线算法（英语：Bresenham's line algorithm）是用来描绘由两点所决定的直线的算法，它会算出一条线段在n维位图上最接近的点。这个算法只会用到较为快速的整数加法、减法和位元移位，常用于绘制电脑画面中的直线。是计算机图形学中最先发展出来的算法。

推算方法

确定2点得一条直线，如下图所示，但是在屏幕上却不容易，因为屏幕是离散的LED组成，如何尽可能让屏幕上的LED灯亮的看起来很直，这就需要用到布雷森汉姆直线算法。

从左下角到右上角，且斜率小于1

先讨论最简单的，假设起点是 $(x_{0},y_{0})$ ，终点是 $(x_{1},y_{1})$ ，且 $x_{1}>x_{0}$ ， $y_{1}>y_{0}$ 。

当开始选择下个坐标时，无非是2个坐标，x轴+1，y轴看情况+1，即要么 $(x_{0}+1,y_{0})$ ，要么 $(x_{0}+1,y_{0}+1)$ ，那么如何判断y轴是否+1，这是我们这次研究的。

浮点型运算

我们先用浮点型的方式做出来，然后再转化成整型格式。

对于由( $(x_{0},y_{0})$ 及 $(x_{1},y_{1})$ 两点所组成之直线，公式如下： $y-y_{0}=\frac{y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}(x-x_{0})$

因此，对于每一点的x，其y的值是 $\frac{y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}(x-x_{0})+y_{0}$

其中斜率k= $\frac{y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}$

所以当x轴+1时，y轴的移动距离是 $k(x-x_{0})=k*1=k$ ，我们采取四舍五入的形式，当y轴移动的距离>0.5时认为y轴可以+1。但是这样的话会存在误差，且越来越大，所以我们还需要对误差进行处理，简单的说就是比如k=0.6，我们x+1后，由于y轴的位移是0.6，超过了0.5所以认为y轴也+1，但理论y还是0.6，所以这里相差了0.4，当x轴继续+1时，y轴理论增加0.6，但由于前面多+了0.4，所以得减去，也就是0.6-0.4=0.2，小于0.5，所以此时y轴不动，以此类推。

我们这里采用C语言伪代码进行演示一下：

void line(x0,x1,y0,y1)
{
    dx=x1-x0;//x轴增加量
    dy=y1-y0;//y轴增加量
    k=dy/dx;//斜率
    err=0;//误差
    x=x0;
    y=y0;//x,y是画点
    for(x=x0;x<=x1;x++)
    {
        point(x,y);
        err+=k;//x+1后y的移动距离会+k,同时也是误差
        if(err>=0.5)//误差>=0.5，认为y轴该+1
        {
            y=y+1;
            err=err-1;//实际y轴应该移动k，但是由于>=0.5了，所以直接+1，那么就有了k-1的误差
        }
    }
}

整数型运算：

但是由于STM32等MCU使用浮点型变量计算的话又慢还有误差，所以采取整型数据是最好的。所以我们将分母dx去掉就好了。

我们这里再总结下判断公式，x轴每次+1后，y轴是否+1，全看y轴的增加量，我们以起点为零点计算，那么y轴是否+1可以利用公式： $(x_{n}+1-x_{n})*k>=0.5$

斜率k展开： $(x_{n}+1-x_{n})(\frac{dy}{dx})>=0.5 \rightarrow 1*(\frac{dy}{dx})>=0.5$

两边*dx: $dy>=0.5dx\rightarrow dy-\frac{dx}{2}>=0$

最终得到的判断条件公式是： $dy-\frac{dx}{2}>=0$

我们将 $-\frac{dx}{2}$ 当做起始误差，即err= $-\frac{dx}{2}$

所以我们就可以通过这个条件写一个程序，这里采用C语言编写

int main()
{
	int x0=1,y0=1,x1=5,y1=3;//(1,1)->(5,3)
	int dx=x1-x0;
	int dy=y1-y0;
	int dir=dy-dx;
 	int err=-dx/2;//误差基值 
 	
 	int x=x0,y=y0;
 	for(x=x0;x<=x1;x++)
	 {
	 	printf("(%d,%d)\n",x,y);
	 	err+=dy;
	 	if(err>=0)
	 	{
	 		y+=1;
	 		err-=dx;
		 }
	  } 	
	return 0;
 }

运行结果如图所示：

其他情况

其他情况无非是不在第一象限、斜率>1，这些通过对换2个坐标，将其转化为前面讨论的情况即可，比如从左下角到右上角，且斜率>1，那么将x0和y0对换一下，x1和y1对换一下。

小结

其实方法就是四舍五入，然后加上误差，这个算法运算量小且速度快，程序简单。

最终程序

#include "stdio.h"
#include "stdlib.h"
int main()
{
	int x0=10,y0=1,x1=1,y1=5;
	int dx=abs(x1-x0);
	int dy=abs(y1-y0);
	int err=0;	
 	int y_inc=(y1-y0)>0 ?1:-1;//判断y是增加还是减少
 	int x_inc=(x1-x0)>0 ?1:-1;//判断x是增加还是减少 
 	int x=x0,y=y0;//x,y初始化
 	if(dx>=dy)//x轴长
	{
		for(x=x0;x!=(x1+x_inc);x+=x_inc)
		 {
		 	printf("(%d,%d)\n",x,y);
		 	err+=dy;
		 	if(err>=dx/2)
		 	{
		 		y+=y_inc;
		 		err-=dx;
			 }
		  } 
	} 
	else//y轴长
	{
		for(y=y0;y!=(y1+y_inc);y+=y_inc)
		 {
		 	printf("(%d,%d)\n",x,y);
		 	err+=dx;
		 	if(err>=dy/2)
		 	{
		 		x+=x_inc;
		 		err-=dy;
			 }
		  } 
	} 		
	return 0;
 }

由（10,1）到（1,5）的结果如下