day01 104 货仓选址（绝对值不等式）

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#数据结构 #算法 #java

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本文探讨了如何通过排序和中位数原理解决货仓选址问题，以最小化货物配送总距离。介绍了一个Java实现的示例，涉及排序算法和计算最优位置的方法。

104. 货仓选址

在一条数轴上有 $N$ 家商店，它们的坐标分别为 $A_1$ ~ $A_N$ 。

现在需要在数轴上建立一家货仓，每天清晨，从货仓到每家商店都要运送一车商品。

为了提高效率，求把货仓建在何处，可以使得货仓到每家商店的距离之和最小。

输入格式
第一行输入整数 $N$ 。

第二行 $N$ 个整数 $A_1$ ~ $A_N$ 。

输出格式
输出一个整数，表示距离之和的最小值。

数据范围
$1 \leq N \leq 100000$ ,
$0≤A_i≤40000$
输入样例：

4
6 2 9 1

输出样例：

12

算法分析

1、把A[0]~A[N-1]排序，设货仓在X坐标处，X左侧的商店有P家，右侧的商店有Q家。若P < Q，则每把仓库的选址向右移动1单位距离，距离之和就会变少Q - P.同理，若P > Q，则仓库的选址向左移动会使距离之和变小。当P=Q时为最优解。

2、因此仓库应该建在中位数处，把A进行排序，

当N为奇数时，货仓建在A[(N - 1)/2]处，

当N为偶数时，仓库建在A[(N - 1)/2 + 1]处。

如下图举例：

在这里插入图片描述

时间复杂度 $(O (n l o g (n))$ 即排序的时间复杂度

import java.util.Scanner;

import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        int n = scanner.nextInt();
        int[] arr = new int[n];
        for(int i = 0;i < n;i++){
            arr[i] = scanner.nextInt();
        }
        
        //为了找到正确的中位数，故先排序
        Arrays.sort(arr);
        //n是奇数时，中位数即（n-1)/2，n时偶数时，货仓可以选在中间两个数之间，包括中间两个数的位置
        //为了统一方便，我们选在中间两个数的第一个数，也即(n-1)/2的位置
        int mid = (n - 1) / 2;
        int res = 0;
        for(int i = 0;i < n;i++){//计算每个点到货仓的距离之和
            res += Math.abs(arr[i] - arr[mid]);
        }
        System.out.println(res);
    }
}