day08 422校门外的树（区间合并）

422. 校门外的树

某校大门外长度为L的马路上有一排树，每两棵相邻的树之间的间隔都是$1$米。

我们可以把马路看成一个数轴，马路的一端在数轴$0$的位置，另一端在$L$的位置；数轴上的每个整数点，即$0，1，2，\dots \dots ，L$，都种有一棵树。

由于马路上有一些区域要用来建地铁。

这些区域用它们在数轴上的起始点和终止点表示。

已知任一区域的起始点和终止点的坐标都是整数，区域之间可能有重合的部分。

现在要把这些区域中的树（包括区域端点处的两棵树）移走。

你的任务是计算将这些树都移走后，马路上还有多少棵树。

输入格式
输入文件的第一行有两个整数$L$和$M$，$L$代表马路的长度，$M$代表区域的数目，$L$和$M$之间用一个空格隔开。

接下来的$M$行每行包含两个不同的整数，用一个空格隔开，表示一个区域的起始点和终止点的坐标。

输出格式
输出文件包括一行，这一行只包含一个整数，表示马路上剩余的树的数目。

数据范围
$1\le L\le 10000,$
$1\le M\le 100$
输入样例：

500 3
150 300
100 200
470 471

输出样例：

298

算法1

(模拟,数组遍历) $O(ML)$
定义一个长度为 $L+1$ 的布尔数组，表示每棵树的状态。

• true 表示已经被移走；
• false 表示未被移走；

对于每次移动树木的操作 $[L_i,R_i]$，直接循环一遍，将布尔数组中从 $L_i$，到 $R_i$ 这段赋值为true。

最后统计值为 false 的数量即可。

时间复杂度分析
对于每次移动树木的操作，最坏情况下区间长度是 $O(L)$，因此计算量是 $O(L)$，一共有 $M$ 次操作，因此总时间复杂度是 $O(ML)=100\times 10000=10^6$。

import java.util.Scanner;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        int L = scanner.nextInt();//树从0-L,故共有L+1棵树
        int M = scanner.nextInt();
        boolean[] st = new boolean[L + 1];//state数组，用于标记该点是否要用于建地铁
        while(M-- !=0){
            int l = scanner.nextInt();
            int r = scanner.nextInt();
            for(int i = l;i <= r;i++){//[l,r]用于建地铁
                st[i] = true;
            }
        }
        int cnt = 0;//用于建地铁区域占多少棵树
        for(int i = 0;i < st.length;i++){
            if(st[i]){
                cnt += 1;
            }
        }
        System.out.println(L + 1 - cnt);//输出还剩下多少棵树
    }
}

算法2

(区间合并) $O(MlogM)$
先求出所有移动树木的操作的区间的并集，那么马路上剩余部分即为最终剩下树木的部分。

求所有区间的并集可以使用区间合并算法。

时间复杂度分析
区间合并算法的时间复杂度是 $O(MlogM)$，其中 $M$ 是区间数量。

区间合并算法思想

1：把数组按照左端点从小到大的顺序排序

2：维护一个区间(我记为基准区间），和下一个区间进行对比，会分为三种情况

• 第一种：当前的区间完全被基准区间所覆盖，此时基准区间无需做任何变化。
• 第二种：当前的区间与基准区间有重合的部分，且当前区间右端点比基准区间右端点大，这个时候我们就更新基准区间的右端点为当前区间的右端点，即将两个区间进行了合并。
• 第三种：当前的区间左端点大于上一个区间的右端点；此时的话，我们维护的基准区间要更新为当前的区间，因为上一个基准区间的长度已经达到最长了，之后的区间与其并无任何重合的部分了。

import java.util.ArrayList;
import java.util.Comparator;
import java.util.List;
import java.util.Scanner;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        int L = scanner.nextInt();//树从0-L,故共有L+1棵树
        int M = scanner.nextInt();
        List<int[]> list = new ArrayList<>();//用于存储每段区间
        for(int i = 0 ;i < M;i++){
            int[] segment = {scanner.nextInt(),scanner.nextInt()};
            list.add(segment);
        }
        list.sort(new Comparator<int[]>() {//按照每段区间的左端点由小到大排序
            @Override
            public int compare(int[] o1, int[] o2) {
                return o1[0] - o2[0];
            }
        });
        //最开始的基准区间
        int start = list.get(0)[0];
        int end = list.get(0)[1];
        int res = L + 1;//原始树的数量
        for(int i = 1;i < list.size();i++){
            if(list.get(i)[0] <= end){//当前区间左端点在基准区间内，说明两个区间有重合部分
                end = Math.max(list.get(i)[1],end);//更新基准区间的右端点为两个区间右端点较大的那个
            }else{//当前区间与基准区间无重合部分，说明第一段基准区间合并结束，更新当前区间为新基准区间
                //让结果减去上个区间所包含的树的数量（即res = res-(end - start +1))
                res -= end - start +1;
                start = list.get(i)[0];
                end = list.get(i)[1];
            }
        }
        res -= end - start + 1;//减去最后一段合并的基准区间包含的树的数量
        System.out.println(res);
    }
}