day36 449 质因数分解 （数论、枚举）

449. 质因数分解

已知正整数n是两个不同的质数的乘积，试求出较大的那个质数。

输入格式
输入只有一行，包含一个正整数n。

输出格式
输出只有一行，包含一个正整数p，即较大的那个质数。

数据范围
$6\le n\le 2\ast 10^9$
输入样例：

21

输出样例：

7

思路：

1. 我们需要先了解一个算术基本定理如图：
   
   这说明合数一定可以分解成唯一的一组质数的乘积

2. 题里已经说了给出的n是两个质数的乘积，那就说明n一定是合数，另外就是n的分解形式是确定的了,一定是 质数×质数（不可能是合数×合数或者合数 ×质数，因为这样的话合数又会被分解成质数，n成了三个质数的乘积了，与题意不符）。

3. 所有约数都是成对出现的：如果 d 是 n 的约数，那么 $\frac{n}{d}$ 也是 n 的约数。

4. 我们可以只枚举较小的约数，然后计算出较大的约数即可。那么需要枚举的范围满足： $d\le \frac{n}{d}$，则 $d\le \sqrt{n}$。因此只需要枚举$\sqrt{n}$ 次。

时间复杂度
由于只枚举较小的约数，所以只需枚举 $\sqrt{n}$次，因此总时间复杂度是 $O(\sqrt{n})$。

Java代码

import java.util.Scanner;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt();
        int t = (int)Math.sqrt(n);
        for(int i = 2;i <= t;i++){
            if(n % i == 0){//第一次遇到n的因子时，这个因子就是较小的那个因子
                System.out.println(n / i);//输出较大的那个因子后，可以break直接退出for循环了
                break;
            }
        }
    }
}