day36 449 质因数分解 (数论、枚举)

本文介绍如何利用算术基本定理快速找到给定正整数n为两个不同质数乘积时的较大质数,通过枚举约数实现O(sqrt(n))的时间复杂度,结合代码实例解析解题思路。

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449. 质因数分解

已知正整数n是两个不同的质数的乘积,试求出较大的那个质数。

输入格式
输入只有一行,包含一个正整数n。

输出格式
输出只有一行,包含一个正整数p,即较大的那个质数。

数据范围
6≤n≤2∗1096≤n≤2∗10^96n2109
输入样例:

21

输出样例:

7

思路:

  1. 我们需要先了解一个算术基本定理如图:
    在这里插入图片描述
    这说明合数一定可以分解成唯一的一组质数的乘积

  2. 题里已经说了给出的n是两个质数的乘积,那就说明n一定是合数,另外就是n的分解形式是确定的了,一定是 质数×质数(不可能是合数×合数或者合数 ×质数,因为这样的话合数又会被分解成质数,n成了三个质数的乘积了,与题意不符)。

  3. 所有约数都是成对出现的:如果 dn 的约数,那么 nd\frac{n}{d}dn 也是 n 的约数。

  4. 我们可以只枚举较小的约数,然后计算出较大的约数即可。那么需要枚举的范围满足: d≤ndd ≤ \frac{n}{d}ddn,则 d≤nd≤\sqrt{n}dn。因此只需要枚举n\sqrt{n}n 次。

时间复杂度
由于只枚举较小的约数,所以只需枚举 n\sqrt{n}n次,因此总时间复杂度是 O(n)O(\sqrt{n})O(n)

Java代码

import java.util.Scanner;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt();
        int t = (int)Math.sqrt(n);
        for(int i = 2;i <= t;i++){
            if(n % i == 0){//第一次遇到n的因子时,这个因子就是较小的那个因子
                System.out.println(n / i);//输出较大的那个因子后,可以break直接退出for循环了
                break;
            }
        }
    }
}

在这里插入图片描述

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