概率基础

【概率论基础】概率论的一些基础概念以及公式 概率论基础,一些基础概念 阅读详情

概率基础

条件概率

  • A条件下B的概率:

P ( B ∣ A ) = P ( A B ) P ( A ) P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)} P(B∣A)=P(A)P(AB)​

  • 逆概率:

P ( B ∣ A ) = P ( A ∣ B ) P ( B ) P ( A ) P(B|A) = \frac{P(A|B) P(B)}{P(A)} P(B∣A)=P(A)P(A∣B)P(B)​

全概率公式

P ( A ) = ∑ i = 1 n P ( A ∣ B i ) P ( B i ) P(A) = \sum_{i=1}^n P(A|B_i)P(B_i) P(A)=i=1∑n​P(A∣Bi​)P(Bi​)

贝叶斯公式

P ( B i ∣ A ) = P ( A ∣ B i ) P ( B i ) ∑ j = 1 n P ( A ∣ B j ) P ( B j ) P(B_i|A) = \frac{P(A|B_i) P(B_i)}{\sum_{j=1}^n P(A|B_j)P(B_j)} P(Bi​∣A)=∑j=1n​P(A∣Bj​)P(Bj​)P(A∣Bi​)P(Bi​)​

事件的独立性

  • 两事件中任一事件发生都不影响另一事件发生时:

P ( B ∣ A ) = P ( B ) P(B|A) = P(B) P(B∣A)=P(B)

  • A,B,C两两独立:

P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) P(AB) = P(A)P(B) P(AB)=P(A)P(B) P ( A C ) = P ( A ) P ( C ) P(AC) = P(A)P(C) P(AC)=P(A)P(C) P ( B C ) = P ( B ) P ( C ) P(BC) = P(B)P(C) P(BC)=P(B)P(C)

  • A,B,C相互独立:

P ( A B C ) = P ( A ) P ( B ) P ( C ) P(ABC) = P(A)P(B)P(C) P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

MLE和MAP

最大似然估计

找出一组参数 θ \theta θ,使模型产生的观测数据 X X X的概率最大, X = x 1 , x 2 , . . . x n X = x_1,x_2,...x_n X=x1​,x2​,...xn​

a r g m a x θ   P ( X ∣ θ ) = a r g m a x θ ∑ i = 1 n log ⁡ P ( x i ∣ θ ) \underset{\theta}{argmax} \, P(X|\theta) = \underset{\theta}{argmax} \sum_{i=1}^n \log P(x_i|\theta) θargmax​P(X∣θ)=θargmax​i=1∑n​logP(xi​∣θ)

对数似然
a r g m a x θ ∑ i = 1 n log ⁡ P ( x i ∣ θ ) \underset{\theta}{argmax} \sum_{i=1}^n \log P(x_i|\theta) θargmax​i=1∑n​logP(xi​∣θ)

最大后验概

θ \theta θ参数有一个先验概率 P ( θ ) P(\theta) P(θ),给定了观测值 X X X后,求 θ \theta θ使概率 P ( X ∣ θ ) P ( θ ) P(X|\theta) P(\theta) P(X∣θ)P(θ)最大

a r g m a x θ   P ( θ ∣ X ) = a r g m a x θ   P ( X ∣ θ ) P ( θ ) P ( X ) = a r g m a x θ   P ( X ∣ θ ) P ( θ ) \underset{\theta}{argmax} \, P(\theta|X) = \underset{\theta}{argmax} \, \frac{P(X|\theta) P(\theta)}{P(X)} = \underset{\theta}{argmax} \, P(X|\theta) P(\theta) θargmax​P(θ∣X)=θargmax​P(X)P(X∣θ)P(θ)​=θargmax​P(X∣θ)P(θ)

e.g.

概率是已知模型和参数,推数据;统计是已知数据,推模型和参数。

抛一硬币10次,正面朝上60次
MLE:P(正)=60/100=0.6
MAP:通常认为硬币正反55开,则认为P(正)在区间 ( 0.5 , 0.6 ) (0.5,0.6) (0.5,0.6)中

附录

encn
statistics统计学
probability概率
Bayes贝叶斯
maximum likelihood estimate最大似然估计
maximum a posteriori最大后验概率
posteriori后验的;其次的
posterior较后的;臀部
posterity后裔;后代
prior优先的;在前的
priori先验的
priority优先;优先次序
概率基础 · 联合概率 边缘概率 prior posterior likelihood 阅读详情

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B. Palm", title = "Prediction as a candidate for learning deep hierarchical models of data", year = "2012",}```Contact: rasmusbergpalm at gmail dot comDirectories included in the toolbox-----------------------------------`NN/` - A library for Feedforward Backpropagation Neural Networks`CNN/` - A library for Convolutional Neural Networks`DBN/` - A library for Deep Belief Networks`SAE/` - A library for Stacked Auto-Encoders`CAE/` - A library for Convolutional Auto-Encoders`util/` - Utility functions used by the libraries`data/` - Data used by the examples`tests/` - unit tests to verify toolbox is workingFor references on each library check REFS.mdSetup-----1. Download.2. addpath(genpath('DeepLearnToolbox'));Example: Deep Belief Network---------------------```matlabfunction test_example_DBNload mnist_uint8;train_x = double(train_x) / 255;test_x = double(test_x) / 255;train_y = double(train_y);test_y = double(test_y);%% ex1 train a 100 hidden unit RBM and visualize its weightsrand('state',0)dbn.sizes = [100];opts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;opts.momentum = 0;opts.alpha = 1;dbn = dbnsetup(dbn, train_x, opts);dbn = dbntrain(dbn, train_x, opts);figure; visualize(dbn.rbm{1}.W'); % Visualize the RBM weights%% ex2 train a 100-100 hidden unit DBN and use its weights to initialize a NNrand('state',0)%train dbndbn.sizes = [100 100];opts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;opts.momentum = 0;opts.alpha = 1;dbn = dbnsetup(dbn, train_x, opts);dbn = dbntrain(dbn, train_x, opts);%unfold dbn to nnnn = dbnunfoldtonn(dbn, 10);nn.activation_function = 'sigm';%train nnopts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;nn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.10, 'Too big error');```Example: Stacked Auto-Encoders---------------------```matlabfunction test_example_SAEload mnist_uint8;train_x = double(train_x)/255;test_x = double(test_x)/255;train_y = double(train_y);test_y = double(test_y);%% ex1 train a 100 hidden unit SDAE and use it to initialize a FFNN% Setup and train a stacked denoising autoencoder (SDAE)rand('state',0)sae = saesetup([784 100]);sae.ae{1}.activation_function = 'sigm';sae.ae{1}.learningRate = 1;sae.ae{1}.inputZeroMaskedFraction = 0.5;opts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;sae = saetrain(sae, train_x, opts);visualize(sae.ae{1}.W{1}(:,2:end)')% Use the SDAE to initialize a FFNNnn = nnsetup([784 100 10]);nn.activation_function = 'sigm';nn.learningRate = 1;nn.W{1} = sae.ae{1}.W{1};% Train the FFNNopts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;nn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.16, 'Too big error');```Example: Convolutional Neural Nets---------------------```matlabfunction test_example_CNNload mnist_uint8;train_x = double(reshape(train_x',28,28,60000))/255;test_x = double(reshape(test_x',28,28,10000))/255;train_y = double(train_y');test_y = double(test_y');%% ex1 Train a 6c-2s-12c-2s Convolutional neural network %will run 1 epoch in about 200 second and get around 11% error. %With 100 epochs you'll get around 1.2% errorrand('state',0)cnn.layers = { struct('type', 'i') %input layer struct('type', 'c', 'outputmaps', 6, 'kernelsize', 5) %convolution layer struct('type', 's', 'scale', 2) %sub sampling layer struct('type', 'c', 'outputmaps', 12, 'kernelsize', 5) %convolution layer struct('type', 's', 'scale', 2) %subsampling layer};cnn = cnnsetup(cnn, train_x, train_y);opts.alpha = 1;opts.batchsize = 50;opts.numepochs = 1;cnn = cnntrain(cnn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = cnntest(cnn, test_x, test_y);%plot mean squared errorfigure; plot(cnn.rL);assert(er<0.12, 'Too big error');```Example: Neural Networks---------------------```matlabfunction test_example_NNload mnist_uint8;train_x = double(train_x) / 255;test_x = double(test_x) / 255;train_y = double(train_y);test_y = double(test_y);% normalize[train_x, mu, sigma] = zscore(train_x);test_x = normalize(test_x, mu, sigma);%% ex1 vanilla neural netrand('state',0)nn = nnsetup([784 100 10]);opts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samples[nn, L] = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.08, 'Too big error');%% ex2 neural net with L2 weight decayrand('state',0)nn = nnsetup([784 100 10]);nn.weightPenaltyL2 = 1e-4; % L2 weight decayopts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samplesnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');%% ex3 neural net with dropoutrand('state',0)nn = nnsetup([784 100 10]);nn.dropoutFraction = 0.5; % Dropout fraction opts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samplesnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');%% ex4 neural net with sigmoid activation functionrand('state',0)nn = nnsetup([784 100 10]);nn.activation_function = 'sigm'; % Sigmoid activation functionnn.learningRate = 1; % Sigm require a lower learning rateopts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samplesnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');%% ex5 plotting functionalityrand('state',0)nn = nnsetup([784 20 10]);opts.numepochs = 5; % Number of full sweeps through datann.output = 'softmax'; % use softmax outputopts.batchsize = 1000; % Take a mean gradient step over this many samplesopts.plot = 1; % enable plottingnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');%% ex6 neural net with sigmoid activation and plotting of validation and training error% split training data into training and validation datavx = train_x(1:10000,:);tx = train_x(10001:end,:);vy = train_y(1:10000,:);ty = train_y(10001:end,:);rand('state',0)nn = nnsetup([784 20 10]); nn.output = 'softmax'; % use softmax outputopts.numepochs = 5; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 1000; % Take a mean gradient step over this many samplesopts.plot = 1; % enable plottingnn = nntrain(nn, tx, ty, opts, vx, vy); % nntrain takes validation set as last two arguments (optionally)[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');```[![Bitdeli Badge](https://d2weczhvl823v0.cloudfront.net/rasmusbergpalm/deeplearntoolbox/trend.png)](https://bitdeli.com/free "Bitdeli Badge")

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有道无术, 术尚可求。有术无道, 止于术。 2185

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小基基o_O
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