线性代数：矩阵的LU分解

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原创最新推荐文章于 2026-09-03 11:48:37 发布 8k 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

矩阵A可以LU分解的充要条件矩阵A可以LU分解的充要条件是 ∀k∈{1,⋯ ,n},rankA1:k,1:k+k⩾rankA1:k,1:n+rankA1:n,1:k\forall k \in \{1,\cdots,n\}, \mathrm{rank} A_{1:k,1:k} + k \geqslant \mathrm{rank} A_{1:k,1:n} + \mathrm{rank} A_{1:n,1:k}∀k∈{1,⋯,n},rankA1:k,1:k+k⩾rankA1:k,1:n+rankA1:n,1:k. 如果矩阵A可以L. 阅读详情

矩阵的LU分解
- 基础公式
- 示例说明
  - 2x2 矩阵情况
  - 3x3 矩阵情况

本节是网易公开课上的麻省理工大学线性代数课程第四节： A的LU分解的学习笔记。

本篇主要讲解 矩阵的LU分解。

矩阵的LU分解

基础公式

公式一

假设方阵 A 可逆矩阵为 $A^{-1}$ ，则 $AA^{-1}=I=A^{-1}A$ 。

公式二

假设方阵 A 、B 可逆矩阵分别为 $A^{-1}$ 、 $B^{-1}$ ，那 AB 的可逆矩是什么呢？答案是： $B^{-1}A^{-1}$ 。

我们可以证明下：

$(AB)(B^{-1}A^{-1})=A(BB^{-1})A^{-1}=AIA^{-1}=I$

公式三

(A B) T = B T A T

$(AB)^T=B^TA^T$

公式四

假设方阵 A 可逆，那 $A^T$ 的可逆矩阵是什么呢？

A A - 1 = I (A A - 1) T = I T (A - 1) T (A) T = I

$AA^{-1}=I\\ (AA^{-1})^{T}=I^{T}\\ (A^{-1})^{T}(A)^{T}=I$

上面公式说明A转置的逆矩阵为A的逆矩阵的转置。

示例说明

系数矩阵 A 经过消元后得到矩阵 U (upper，表示上三角矩阵)，那A 和 U 有什么关系呢，它们之间的关系可以通过矩阵 L （lower，表示下三角矩阵）来表示。

2x2 矩阵情况

以2x2矩阵为例，系数矩阵为 A，由于需要将 $A_{2,1}$ 变为0，所以设初等矩阵为 $E_{2,1}$ 。则：

E 2, 1 A = U

$E_{2,1}A=U$

[] [2817] = [2013]

$\begin{bmatrix} & \\ & \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 1\\ 8 & 7 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2 & 1\\ 0 & 3 \end{bmatrix}$

考虑下，最左侧矩阵（ $E_{2,1}$ ）应该为什么呢？

[1 - 4 01] [2817] = [2013]

$\begin{bmatrix} 1 & 0\\ -4 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 1\\ 8 & 7 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2 & 1\\ 0 & 3 \end{bmatrix}$

我们想要得到的矩阵是 L。

A = L U

$A = LU$

[2817] = [] [2013]

$\begin{bmatrix} 2 & 1\\ 8 & 7 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} & \\ & \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 1\\ 0 & 3 \end{bmatrix}$

观察下这两个公式：

E 2, 1 A = U A = L U

$E_{2,1}A = U\\ A = LU$

可以发现，L 其实就是 $(E_{2,1})^{-1}$ 。

L = (E 2, 1) - 1 = [1401]

$L=(E_{2,1})^{-1}= \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 4 & 1 \end{bmatrix}$

有时候也会将主元单独提取出来，即 A=LU=LDU

[2817] = [1401] [2003] [10 1 / 2 3]

$\begin{bmatrix} 2 & 1\\ 8 & 7 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 4 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 0\\ 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1/2\\ 0 & 3 \end{bmatrix}$

3x3 矩阵情况

对于3x3矩阵来说，首先需要将 $A_{2,1}$ 变为0，其次需要将 $A_{3,1}$ 变为0，最后需要将 $A_{3,2}$ 变为0。所以依次左乘 $E_{2,1}$ 、 $E_{3,1}$ 、 $E_{3,2}$ 。即：

E 3, 2 E 3, 1 E 2, 1 A = U

$E_{3,2}E_{3,1}E_{2,1}A=U$ 。

则：

A = (E 2, 1) - 1 (E 3, 1) - 1 (E 3, 2) - 1 U = L U L = (E 2, 1) - 1 (E 3, 1) - 1 (E 3, 2) - 1

$A=(E_{2,1})^{-1}(E_{3,1})^{-1}(E_{3,2})^{-1}U=LU\\ L=(E_{2,1})^{-1}(E_{3,1})^{-1}(E_{3,2})^{-1}$

假设

A = ⎡ ⎣ ⎢ 24627182722 ⎤ ⎦ ⎥ \to r o w 2 = r o w 2 - 2 r o w 1 ⎡ ⎣ ⎢ 20623182322 ⎤ ⎦ ⎥ \to r o w 3 = r o w 3 - 3 r o w 1 ⎡ ⎣ ⎢ 20023122316 ⎤ ⎦ ⎥ \to r o w 3 = r o w 3 - 4 r o w 1 ⎡ ⎣ ⎢ 200230234 ⎤ ⎦ ⎥ = U

$A=\begin{bmatrix} 2 & 2 & 2\\ 4 & 7 & 7\\ 6 & 18 & 22 \end{bmatrix} \overset{row2=row2-2row1}{\rightarrow} \begin{bmatrix} 2 & 2 & 2\\ 0 & 3 & 3\\ 6 & 18 & 22 \end{bmatrix} \overset{row3=row3-3row1}{\rightarrow} \begin{bmatrix} 2 & 2 & 2\\ 0 & 3 & 3\\ 0 & 12 & 16 \end{bmatrix} \overset{row3=row3-4row1}{\rightarrow} \begin{bmatrix} 2 & 2 & 2\\ 0 & 3 & 3\\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}=U$

使用初等矩阵E左乘实现。

E 3, 2 E 3, 1 E 2, 1 = ⎡ ⎣ ⎢ 100 01 - 4 001 ⎤ ⎦ ⎥ ⎡ ⎣ ⎢ 10 - 3 010001 ⎤ ⎦ ⎥ ⎡ ⎣ ⎢ 1 - 2 0 010001 ⎤ ⎦ ⎥

$E_{3,2}E_{3,1}E_{2,1}= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & -4 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ -3 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ -2 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

则：

L = ⎡ ⎣ ⎢ 120010001 ⎤ ⎦ ⎥ ⎡ ⎣ ⎢ 103010001 ⎤ ⎦ ⎥ ⎡ ⎣ ⎢ 100014001 ⎤ ⎦ ⎥ = ⎡ ⎣ ⎢ 123014001 ⎤ ⎦ ⎥

$L= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 2 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 3 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 4 & 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 2 & 1 & 0\\ 3 & 4 & 1 \end{bmatrix}$
对于

A=LU $A=LU$ ，如果不存在行互换，则 L 中主对角线元素为1，主对角线上元素为0，主对角线下元素分别为消去该位置元素的消元乘数。

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