三阶矩阵的lu分解详细步骤_线性代数：3.LU分解

什么是LU分解

将一个矩阵 $A$ 表示成 $A = LU$ 的形式，其中 $L$ 是下三角矩阵， $U$ 是上三角矩阵。这就是所谓的LU分解。例如：

上面的例子中 $A$ 是方阵。如果 $A$ 不是方阵呢？这种情况下，我们希望 $L$ 和 $U$ 中有一个是方阵，并且是三角矩阵；而另一个尽量做成三角矩阵。比如这样的形式：

为什么要做LU分解

LU分解其实就是一个运算优化。无论是求解行列式，还是线性方程组等，完全可以直接使用 $A$ 本身来求解。但使用 $LU$ 矩阵的计算量非常小，小到相对来说是可以忽略的。更何况实际编程中，我们还可以将 $LU$ 矩阵保存，即可以用来求行列式，也可以用来求解线性方程组，可谓“一次计算，到处方便”。下面就分别举例看一下。

利用LU分解求行列式

行列式有一个性质，即如果 $A=LU$ ，则 $detA = det(LU) = (detL)(detU)$ 。

行列式还有一个性质，即对于对角矩阵 $B$ ，其行列式的值对角元素的乘积。

因此对于文章开头的例子中的矩阵 $A$ ，其行列式 $detA = (1 * 1 * 1)(1 * (-3) * 4) = -12$

利用LU分解求解线性方程组

如果要求 $Ax = y$ 中的向量 $x$ ，将 $A$ 进行 $LU$ 分解以后，则 $LUx = y$ 。因此求解 $x$ 的问题变成了先求 $Lz = y$ 中的向量 $z$ ，再求 $Ux = z$ 中的向量 $x$ 。乍一看LU分解没有简化问题，反而使问题复杂化了。其实不然，因为 $L$ 和 $U$ 都是三角矩阵，而求解三角矩阵构成的方程组是非常简单的。仍然以文章开头的例子举例，要求

的解 $x$ 。

因为 $A=LU$ ，令 $Ux=z$ ，所以 $Lz = y$ 。因此我们先求向量 $z$ ：

由此可以得到一个很简单的线性方程组：

所以 $z = (1, -3, 0)^T$

有了 $z$ 向量以后，接下来我们求解 $Ux = z$ ，即

我们也可以得到一个很简单的线性方程组：

由此可得到线性方程组的解 $x = (-1, 1, 0)^T$。

从上面的过程中可以看出来，进行LU分解以后，整个求解过程都非常简单。

使用python库进行LU分解

虽然这篇文章主要介绍LU分解，但我目前并不打算学习和介绍使用笔算进行LU分解。取而代之的是使用python库求解。

import sympy

A = sympy.Matrix([[2, 4, 2], [1, 5, 2], [4, -1, 9]])

L, U, P = A.LUdecomposition()

#output:

#Matrix([

#[ 1, 0, 0],

#[1/2, 1, 0],

#[ 2, -3, 1]])

#U

#Matrix([

#[2, 4, 2],

#[0, 3, 1],

#[0, 0, 8]])

#P

#[]

import scipy.linalg

A = scipy.matrix([[2, 4, 2], [1, 5, 2], [4, -1, 9]])

P, L, U = scipy.linalg.lu(A)

#output:

#P:

#array([[ 0., 0., 1.],

# [ 0., 1., 0.],

# [ 1., 0., 0.]])

#L:

#array([[ 1. , 0. , 0. ],

# [ 0.25 , 1. , 0. ],

# [ 0.5 , 0.85714286, 1. ]])

#U:

#array([[ 4. , -1. , 9. ],

# [ 0. , 5.25 , -0.25 ],

# [ 0. , 0. , -2.28571429]])

上面代码中，$P$ 称为置换矩阵。

总结

这篇文章介绍了什么是LU分解，更主要的是，为什么要进行LU分解：进行分解后，可以利用分解结果多次求解，从而增加进程效率。

参考资料 ：《进程员的数学 - 线性代数》