CL关于矩阵分解方法的学习理解

最新推荐文章于 2025-10-16 09:54:17 发布
原创 最新推荐文章于 2025-10-16 09:54:17 发布 · 1.3k 阅读 · 0 ·
CC 4.0 BY-SA版权
版权声明：本文为博主原创文章，遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议，转载请附上原文出处链接和本声明。

本文深入讲解了LU分解、Cholesky分解、QR分解和SVD分解四种常用的矩阵分解方法，探讨了它们的应用场景及实现条件，如求解大型方程组、线性最小二乘法问题等。

常用的矩阵分解方法学习

LU分解、Cholesky分解、QR分解、SVD分解

想到看矩阵分解这一块还是因为看EPnP算法卡在了优化系数这一块，因为里面用到了QR分解，但是我又不会，这次就算是全部学习一下吧。

LU分解

LU分解的结果是将一个矩阵分解为一个单位下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积。
并非所有矩阵都能进行LU分解，能够LU分解的矩阵需要满足以下三个条件：
1. 矩阵是方阵
2. 矩阵是可逆的
3. 消元过程中没有０主元出现

LU分解的意义
LU分解的意义在于求解大型方程组。

Cholesky分解

Cholesky分解法又称平方根法，是当A为实对称正定矩阵时，LU三角分解法的变形。
Cholesky分解把矩阵分解为一个下三角矩阵以及它的共轭转置矩阵的乘积。与一般的矩阵分解求解方程的方法比较，Cholesky分解效率很高。
Cholesky分解的条件
一、矩阵中的元素共轭对称（复数域的定义，类比于实数对称矩阵）。Hermitiank意味着对于任意向量x和y，(x*)Ay共轭相等
二、正定（矩阵域，类比于正实数的一种定义）。正定矩阵A意味着，对于任何向量x，(x^T)Ax总是大于零(复数域是(x*)Ax>0)
只要矩阵满足上面的分解条件，那么分解出的矩阵是唯一确定的，而且矩阵的对角元素肯定是正数。
如果矩阵是半正定的，其实也可以分解，只不过分解的结果就不唯一了。
在这里插入图片描述
但是这样的分解方式频繁地使用开方运算，会影响到最后的精度，增加运算量。为了避免开方，Cholesky分解有个改进的版本。
在这里插入图片描述

QR分解

QR分解是将矩阵分解成一个正规正交矩阵Q与上三角矩阵R，所以被成为QR分解法。该算法对对称矩阵和非对称矩阵都适用。推导的话，这边还需要用到施密特正交的计算方法。

  1. 对要分解的矩阵进行施密特正交化、归一化
  2. 计算在新正交坐标系内的分解矩阵的表示
  3. 取出坐标系数组成R矩阵

另外的话，也可以直接对要分解的矩阵左乘上刚刚构建出来的标准正交矩阵Q
QR 分解经常用来解线性最小二乘法问题。

SVD分解

在这里插入图片描述

时间：2019年09月08日
作者：hhuchen
机构：河海大学机电工程学院

线性代数 --- 带有置换矩阵P的LU分解
松下J27录放机
09-28 5837
带有置换矩阵（P）的LU分解（即,PA = LU ） 版权声明：所有的笔记，可能来自很多不同的网站和说明，在此没法一一列出，如有侵权，请告知，立即删除。
矩阵奇异值分解（SVD）中Golub–Kahan 双对角化 + 对双对角矩阵的隐式QR详解
qq_36812406的博客
10-09 761
用一系列正交变换（通常是 Householder 反射）把任意矩阵A∈Rm×n变换成上（或下）双对角（bidiagonal）矩阵B，同时累积这些正交变换得到U0​V0​，使得AU0​BV0⊤​其中U0​∈Rm×mV0​∈Rn×n是正交矩阵（通常只显式保存产生的 Householder 向量以便以后生成奇异向量）。：对上步得到的双对角矩阵B（通常为上双对角：主对角αi​，上超对角βi​）做迭代求 SVD。
矩阵A可以LU分解的充要条件
蒜法
05-22 4231
矩阵A可以LU分解的充要条件是 ∀k∈{1,⋯ ,n},rankA1:k,1:k+k⩾rankA1:k,1:n+rankA1:n,1:k\forall k \in \{1,\cdots,n\}, \mathrm{rank} A_{1:k,1:k} + k \geqslant \mathrm{rank} A_{1:k,1:n} + \mathrm{rank} A_{1:n,1:k}∀k∈{1,⋯,n},rankA1:k,1:k​+k⩾rankA1:k,1:n​+rankA1:n,1:k​. 如果矩阵A可以L.
LU分解的唯一性说明
chen的博客
11-28 4822
在实际应用中，矩阵的这些特性对于LU分解的可行性和唯一性都具有重要影响。LU分解对于解线性方程组、求逆矩阵以及其他许多数值计算任务都是非常有用的，但需要注意矩阵的特性以确定是否可以进行唯一的分解。如果矩阵A的各个阶次的主子式都不为0，则LU分解是唯一的。
线性代数笔记10——矩阵的LU分解
我是8位的
08-29 5万+
在线性代数中， LU分解(LU Decomposition)是矩阵分解的一种，可以将一个矩阵分解为一个单位下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积（有时是它们和一个置换矩阵的乘积）。LU分解主要应用在数值分析中，用来解线性方程、求反矩阵或计算行列式。 什么是LU分解 　　如果有一个矩阵A，将A表示成下三角矩阵L和上三角矩阵U的乘积，称为A的LU分解。   　　更进一步，我们希望下三角矩阵的对角元素...
线性代数 : 矩阵的LU分解(可逆方阵)
机器会学习的博客
03-23 2779
矩阵的LULULU分解 回顾矩阵的逆,AAA为可逆矩阵 AA−1=IAA^{-1} = IAA−1=I A−1A=IA^{-1}A = IA−1A=I 可逆矩阵:ABABAB乘积也是可逆矩阵 (AB)(AB)−1=I(AB)(AB)^{-1} = I(AB)(AB)−1=I ABB−1A−1=IABB^{-1}A^{-1} = IABB−1A−1=I (AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1} ...
20、基于非负矩阵分解的多视图聚类方法解析
最新发布
gpt4scribbler的博客
10-16 29
本文提出了一种基于非负矩阵分解（NMF）的多视图聚类方法，旨在解决复杂、分散且多表示数据集的聚类挑战。通过引入垂直与水平协作机制，结合Karush-Kuhn-Tucker（KKT）条件优化共识过程，有效缓解了NMF的非唯一性问题，提升了聚类结果的稳定性与准确性。文章系统回顾了传统NMF、SOM及k-均值等协作聚类方法，并通过数值实验验证了所提方法在多种数据集上的优越性能。该方法在保护数据机密性的同时，适用于银行、医疗、零售等多个领域的多源数据融合分析，具有广泛的应用前景。
Cl0,2k+1的张量积分解式与矩阵表示 (2014年)
05-24
矩阵表示为Cl0,2k+1≃Mat(2k-δ,Cen(Cl0,2k+1)raidH)给出了一个具体的表示方法，其中Mat表示矩阵空间，Cen(Cl0,2k+1)raidH表示经过某种张量积运算后的元素。这种表示可以用于将Clifford代数中的运算转换为矩阵运算，...
神经符号AI与非负矩阵分解在医疗和文档处理中的应用
### 神经符号AI与非负矩阵分解在医疗和文档处理中的应用 在当今的科技领域，神经符号AI和非负矩阵分解（NMF）分别在医疗和文档处理方面展现出了巨大的潜力。下面将详细介绍它们在各自领域的应用和成果。 #### 神经...
28、非负张量分解：理论、方法与应用
a1b2c的博客
09-23 35
本文深入探讨了非负张量分解（NTF）的理论、方法及其在音频信号处理与推荐系统中的应用。重点介绍了贝叶斯张量分解中的层次模型与吉布斯采样算法，以及基于伽马过程的无限张量分解框架，结合正半定张量分解（PSDTF）与对数行列式散度，在音乐源分离中实现了无需相位重建的高效分离。同时分析了NTF在信息丰富性、模型灵活性和可解释性方面的优势，并展望了其与深度学习融合、拓展至医学与金融领域及算法优化的未来发展方向。
矩阵分解方法之一——LU分解方法
10-09
matlab，矩阵分解方法之一——LU分解方法，用于学习交流。矩阵的三角分解是一个方阵分解为两个基本三角阵的乘积，其中一个三角阵为上三角阵，另一个是下三角阵。这种分解为LU分解。
几种矩阵分解算法： LU分解，Cholesky分解，QR分解，SVD分解，Jordan分解
mucai1的专栏
12-25 3万+
目录 1.LU分解 2. LDLT分解法 3. Cholesky分解的形式 4. QR分解 5.SVD分解 5.1 SVD与广义逆矩阵 6. Jordan 分解 参考文章：                                                                                                         ...
线性代数：矩阵的LU分解
Oner.wv的专栏
03-05 7921
本节是网易公开课上的麻省理工大学线性代数课程第四节： A的LU分解 的学习笔记。本篇主要讲解 矩阵的LU分解。矩阵的LU分解基础公式公式一假设方阵 A 可逆矩阵为 A−1A^{-1}，则 AA−1=I=A−1AAA^{-1}=I=A^{-1}A。公式二假设方阵 A 、B 可逆矩阵分别为 A−1A^{-1}、B−1B^{-1}，那 AB 的可逆矩是什么呢？ 答案是： B−1A−1B^{-1}A^{-1
矩阵的LU分解，LU分解的推广，LU分解有什么意义，为什么要用LU分解。
qq_56780627的博客
12-28 6969
一点点数学！开干！ 参考书籍：《矩阵分析与计算》李继根 张新发编著 矩阵的LU分解： LU分解定理：如果n阶方阵A的各阶顺序主子式≠0（K=1、2、3，…，n），即A的各阶顺序主子式矩阵都可逆，则存在唯一的单位下三角矩阵L与唯一的非奇异上三角矩阵U，使得A=LU 上面这个LU分解定理就是判断一个矩阵是否能LU分解的判断条件 下面用一个实例说明如何对一个矩阵进行LU分解： 一点讲解：也许你会有疑问，为什么？ 其实如果你线性代数学的扎实是很容易理解的，因为并起来然后进行行变换，右边这个..
矩阵分析——LU分解
热门推荐
GG的专栏
05-17 6万+
LU分解定义        在使用初等行变换法求解线性方程组的过程中，系数矩阵的变化情况如下：
矩阵系列：LU分解
u012938458的博客
07-10 1万+
1矩阵LU分解模块 1.1 LU分解数学表达 首先要明确的是，矩阵的LU分解是有局限性的，即LU分解只针对非奇异矩阵。那么什么是非奇异矩阵呢？即各阶顺序主子式不为零。 （1）高斯消去法 LU分解的思想来源于高斯消去法，拿方阵为例（因为本项目中要处理的就是方阵）。将一个n*n的方阵A，通过左乘一系列消去矩阵（笔者自己起的名字，便于理解）。使得 ((((n个L1*(((L2*((…(LnA)=U U为上三角矩阵。 之所以这样化简是因为上三角矩阵便于求解方程组（当然这不是本文的主题，只
矩阵的直接LU分解法
Reborn Lee
07-06 3万+
上篇博文由高斯消去法的矩阵形式推出了矩阵的LU分解：矩阵的三角分解法；实际上，可以直接处理矩阵，得到矩阵的LU分解，这就是矩阵的直接LU分解；直接通过矩阵的元素得到计算LU元素的递推公式，不需要任何中间步骤。学过矩阵论的都知道矩阵的LU直接分解法，数值分析这里又来了一遍，说明很重要了，事实上，这部分内容真的一点都不难，记得当初大家一起复习矩阵论时候，对这块内容，大家的分解方法各种各样，都认为自己的...
任意一个矩阵是否都有LU分解
math357的专栏
03-08 2337
http://download.youkuaiyun.com/source/848417
使用clblast实现矩阵求逆函数
03-30
<think>嗯，用户想用CLBlast库实现矩阵求逆。首先，我得确认CLBlast是否直接支持矩阵求逆。CLBlast主要是用来加速基本的线性代数运算，比如矩阵乘法、向量操作等，但矩阵求逆可能不在其直接支持的功能中。需要查一下CLBlast的文档或者示例，看看有没有相关的函数。 然后，用户可能需要通过其他方法来实现求逆，比如使用LU分解配合求解线性方程组。通常矩阵求逆可以通过分解矩阵，然后求解单位矩阵的每一列作为右侧向量，得到逆矩阵的列。这可能涉及到CLBlast中的分解函数，比如GETRF进行LU分解，然后用GETRS来求解多个右侧向量。 不过，CLBlast的文档里提到，它主要实现了Level 3的BLAS例程，比如GEMM（矩阵乘法），但像GETRF这样的分解可能属于LAPACK的功能，而CLBlast可能不支持。这时候可能需要结合其他的OpenCL实现的LAPACK库，比如clMAGMA或者CLBlast结合其他库使用。 另外，用户需要注意矩阵是否可逆，以及数值稳定性问题。如果矩阵是奇异的，求逆会失败，所以实际应用中需要处理这种情况。同时，使用OpenCL的话，需要编写内核代码或者调用现有的内核来执行这些操作，可能比较复杂。 可能还需要考虑性能问题。CLBlast利用GPU加速，对于大矩阵来说，求逆会比CPU快，但小矩阵可能由于数据传输开销而得不偿失。用户需要根据矩阵的大小选择合适的实现方式。 总结一下，步骤可能是：检查CLBlast是否支持必要的分解和求解函数，如不支持，可能需要结合其他库；使用分解方法（如LU）分解矩阵，然后求解单位矩阵的列来得到逆矩阵；编写相应的OpenCL代码，调用CLBlast的函数，处理数据传输和内核执行；最后验证结果的正确性和性能。</think>要使用CLBlast库实现矩阵求逆，需要理解该库主要专注于基本线性代数子程序（BLAS）的加速实现，而矩阵求逆通常需要结合LAPACK级别的运算。以下是关键步骤说明： 1. **依赖关系确认** CLBlast本身不直接提供矩阵求逆函数，但可通过以下组合实现： - 使用CLBlast的$GEMM$（矩阵乘法）[^1] - 配合LU分解算法（需自行实现或借助其他库） - 利用OpenCL内存对象管理 2. **实现路径** ```cpp // 示例框架代码 clblast::Layout layout = clblast::Layout::kRowMajor; clblast::Transpose a_transpose = clblast::Transpose::kNo; // 创建OpenCL缓冲对象 cl_mem buf_A = clCreateBuffer(context, CL_MEM_READ_WRITE, size_A, NULL, &err); cl_mem buf_invA = clCreateBuffer(context, CL_MEM_READ_WRITE, size_A, NULL, &err); // 实现LU分解（需自定义或使用数值计算库） custom_lu_decomposition(queue, buf_A, ...); // 通过求解AX=I获得逆矩阵 for (int i = 0; i < n; ++i) { clblast::Gemv(layout, a_transpose, n, n, 1.0f, buf_A, 0, n, buf_I_col, 0, 1, 0.0f, buf_invA_col, 0, 1, &queue, &event); } ``` 3. **性能优化要点** - 利用$GEMM$的并行计算特性加速矩阵乘法 - 批处理操作减少内核启动开销 - 采用分块策略提升缓存利用率 - 使用CLBlast的异步执行模式[^2] 4. **验证方法** 通过计算$AA^{-1}=I$验证结果精度： $$ \|AA^{-1} - I\|_F < \epsilon $$ 其中$\epsilon$为预设精度阈值
评论 1
添加红包

请填写红包祝福语或标题

个

红包个数最小为10个

元

红包金额最低5元

当前余额3.43元 前往充值 >
需支付：10.00元
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付元
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明：

1.余额是钱包充值的虚拟货币，按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载，可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值