线性代数：方程组的几何解释

本节是网易公开课上的麻省理工大学线性代数课程第一节： 方程组的几何解释 的学习笔记。

本节将讨论 线性代数基础 及求 解线性方程组。

从方程组开始讲解，有n个方程和n个未知数，即方程数和未知数个数相等，这种情况最让人舒服。

行图像（row picture）：一个行图像表示一个方程。
列图像（column picture）：

2x2 线性方程组

两方程和两未知数

$$2x - y = 0\\ -x + 2y = 3$$

取方程组的每一行作为矩阵的一行，上面方程组的等价于：

$$\begin{bmatrix}2 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\ y \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}0\\ 3 \end{bmatrix}\\ $$

最左侧的用矩阵 A 表示（系数矩阵），中间未知数用向量 x （这儿说的向量都是指列向量，除非特殊说明）表示，右侧结果用向量 b 表示，线性方程组可精简为：

$$\mathbf{Ax = b}\\$$

2x2 线性方程组的行图像（Row Picture）

在 xy平面 上一次做出方程组中每个方程的图像。先做方程2x - y = 0的图像。

对于该方程，当 y=0 时，x=0，所以改方程的图像经过原点0,0；当x=1时，y=2，所以该方程经过点(1,2)。将两点连线即可得到方程的图像。

对于方程-x + 2y = 3，当y=0时，x=-3；当x=-1时，y=1。连接两点。

两条直线相交于点(1,2)。所以上面方程组的解为x=1, y=2。

2x2 线性方程组的列图像（Column Picture）

取方程组的每一列作为矩阵的一列，上面方程组等价于：

x[2−1]+y[−12]=[0