动态规划 线性dp系列：数字三角形

给定一个如下图所示的数字三角形，从顶部出发，在每一结点可以选择移动至其左下方的结点或移动至其右下方的结点，一直走到底层，要求找出一条路径，使路径上的数字的和最大。

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    7
   3 8
  8 1 0
 2 7 4 4
4 5 2 6 5

输入格式

第一行包含整数 n，表示数字三角形的层数。

接下来 n 行，每行包含若干整数，其中第 i 行表示数字三角形第 i 层包含的整数。

输出格式

输出一个整数，表示最大的路径数字和。

数据范围

1 ≤ n ≤ 500,

-10000 ≤ 三角形中的整数 ≤ 10000

输入样例：

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5
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5

输出样例：

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解题思路

倒叙从下往上，例如倒数第二行的2，就从4和5中选一个最大的

8，就从2加其下一层的最大值，和7加其下一层的最大值里，取一个最大值，加上8

以此类推，到7，就可以选出其最大值

伪代码思路

f[i][j]记录i以下层，来到f[i][j]点的路径的最大值+a[i][j]的值

代码

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 510;
int f[N][N],a[N][N];
int main(){
    int n;
    cin>>n;
    //读入
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=i;j++)
            cin>>a[i][j];

    //倒数最后一层，没有更下一层，先赋值
    for(int i=1;i<=n;i++)f[n][i]=a[n][i];

    //从倒数第二行开始递归，第五行有五列元素
    for(int i=n-1;i>=1;i--){
        for(int j=1;j<=i;j++){
            //本行的正下方来的路径，和本行右侧来的路径，比较最大值，添加a[i][j],得到f[i][j]
            f[i][j]=max(f[i+1][j],f[i+1][j+1])+a[i][j];
        }
    }
    cout<<f[1][1];
    return 0;
}