动态规划 -- #线性DP 数字三角形(C++)

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线性dp

状态的转移具有线性递推关系，每个状态只依赖之前的状态，按照线性顺序一步步递推下去。

例题

给定一个如下图所示的数字三角形，从顶部出发，在每一结点可以选择移动至其左下方的结点或移动至其右下方的结点，一直走到底层，要求找出一条路径，使路径上的数字的和最大。

思路

通过观察可以得到规律，每一个位置上的路径和可以是其左上方的元素走来或者是右上方的元素走来,而题目要求我们求最值,我们只需要求左上方和右上方哪里过来的max即可
注意: 第一列元素的左上方是空的,最后一列右上方是空的
所以我们待会初始化dp数组的时候要前后多初始化一个

状态表示

f[i][j]表示所有从起点走到(i,j)的路径最大值

状态计算

• 从左上方走来 f[i][j]=f[i-1][j]
• 从右上方走来 f[i][j]=f[i-1][j-1]
• 最后求max f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-1])

完整代码

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N = 550;
int dp[N][N], a[N][N];
//当三角形中所有数据都为-10000且有500层的时候
//这时候答案应该为-5000000
#define INF -5000010//最后面解释为什么


int main() {
    int n;
    cin >> n;
    //初始化dp数组,这里前后要多算一个
    for(int i=0; i<=n+1; i++){
        for(int j=0; j<=i+1; j++){
            dp[i][j]=INF;
        }
    }
    //录入原数据
    for(int i=1; i<=n; i++){
        for(int j=1; j<=i; j++){
            cin>>a[i][j];
        }
    }
    //dp[1][1]不能用公式算,我们直接手动赋初始值
    dp[1][1]=a[1][1];
    
    for(int i=2; i<=n; i++){
        for(int j=1; j<=i; j++){
            dp[i][j]=max(dp[i-1][j-1],dp[i-1][j])+a[i][j];
        }
    }
    //定义INF为-5000010的原因就是这里要MAX运算最后一行看看哪一列有最大值
    int res=INF;
    for(int i=1; i<=n; i++)res=max(res,dp[n][i]);
    cout<<res;
    
	return 0;
}

结语

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🌻编写本篇文章目的是笔者想以输出的形式进行学习，顺便记录学习点滴🌻

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