动态规划 数位dp系列：度的数量----中专生刷算法

概念

数位dp一般是统计一个区间[l,r]内满足一些条件的数的个数

所谓数位dp，就是一个数的每个位，个十百千万....等进行dp

特点

比较难，像数学

一点不能错，但是，解题方法比较统一

直接看样题

题目:度的数量

求给定区间 [X,Y]中满足下列条件的整数个数：这个数恰好等于 K个互不相等的 B的整数次幂之和。

例如，设 X=15,Y=20,K=2,B=2，则有且仅有下列三个数满足题意：

输入格式

第一行包含两个整数 X和 Y，接下来两行包含整数 K和 B。

输出格式

只包含一个整数，表示满足条件的数的个数。

数据范围

输入样例：

15 20
2
2

输出样例：

3

题目解读

这个数恰好等于 K个互不相等的 B的整数次幂之和

我们先把这个数设为x，这个要求的意思，实际上可以转换为

x转换为b进制后，有两个1，其余都为0

样例

然后我们开始带入数位dp技巧

数位dp技巧

技巧1:

假设f(x)等于1-x符合条件的数

则[x,y]区间内符合条件的数等于f(y)-f(x-1)

类似于前缀和思想

使用技巧1，提前新建一个组合数组，组合数组只代表有多少种组合选法

例如f[3][2],代表三个数里选两个，有多少种选法

组合计算数组模板

void init(){
    //初始化边界，i个里面选0个数的方案数，只有一种方案
    for(int i=0;i<=N;i++)f[i][0]=1;
    //c[i][j]==c[i-1][j-1]+c[i-1][j]
    for(int i=1;i<=N;i++)
        for(int j=1;j<=i;j++)f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j-1];
    return;
}

技巧2:

用树的方式来考虑

特判

1：计算0-n区间时，n本身就等于0，那只有0个方案

2：last用光的时候，i为0了，本来该到下位i-1枚举方案,但是i走到头了，所以res++,因为本身也是一个方案

3：在last增加时，别忘了和K进行比较，防止超过K

代码实现

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=34;
int a[N];
int f[N][N];
int K,B;
int l,r;
void init(){
    for(int i=0;i<N;i++)f[i][0]=1;
    for(int i=1;i<N;i++){
        for(int j=1;j<=i;j++){
            f[i][j]=f[i-1][j-1]+f[i-1][j];
        }
    }
}
//求0-n所有满足转为B进制表示，其中有K位是1、其他位全是0
//的数的个数
int dp(int n){
    if(n==0)return 0;//对n为0特判，n为0无法满足条件
    vector<int> nums;//存放n在b进制下每一位
    //转成B进制数
    while(n)nums.push_back(n%B),n/=B;
    int res=0;//记录答案
    //记录已经选了多少
    int last=0;
    //从最高位开始遍历
    for(int i=nums.size()-1;i>=0;i--){
        int x=nums[i];//区当前位上的数
        //因为枚举的是选法的数量
        //x等于0肯定不是最高位，则x等于0的情况，已经被
        //上次循环的x(x不等于0)的选0填入组合方案包含了
        //i-1位选填0，则后面位可以随便选填1或者其他
        //但是在i位时，last已经
        //可以这么想
        //x==0时，不知道后面的数大小，并且当前位置不能填1
        //除非上一位填0，但是上一位填0之后的所有选法数量，已经记录在res中
        //所以x==0的情况不用判断
        if(x!=0){//x>0才开始判断
            //i位选填0的情况
            res+=f[i][K-last];
            //x大于1的情况，分为两种填法
            if(x>1){
            //当前位置选择填1的情况
            if(K-last-1>=0)res+=f[i][K-last-1];
            //填其他数的情况，由于目的是查找选填多少个1的方案，其他情况无视
            //大于1能直接算出剩余位数全排列的情况
            //但是等于0或者等于1不行，例如三进制数100，不包含101这个数
            //但是200这个数，绝对包含111.101.110，所以可以直接算出，结束循环
            break;
            }
            //x等于1时,只能继续循环，并且标记选了一个1
            else if(x==1){
                last++;
                //选1超过能选的1了,结束循环
                if(last>K)break;
            }
        }
        //如果i走到头的时候，last正好选完
        //代表这个数本身，也符合要求，加上本身
        //在没走到头的情况下，last++了,但是没大于k，没结束
        //所以在下循环内，会计算后面的所有组合方案
        //但是i==0时没有下回合，所以虽然last==k了，
        //但是计算后面的组合方案数，所以需要特判加上
        if(i==0&&last==K)res++;
    }
    return res;
}
int main(){
    init();
    cin >>  l >> r >> K >>B;
    cout<< dp(r) - dp(l-1) <<endl;  
    return 0;
}

此题是使用数位dp模板代码进行扩展的

数位dp代码模板

数位dp一般是统计一个区间[l,r]内满足一些条件的数的个数

所谓数位dp，就是一个数的每个位，个十百千万....等进行dp

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=34;
int a[N];
int f[N][N];
int K,B;
int l,r;
//组合数
void init(){
    for(int i=0;i<N;i++)f[i][0]=1;
    for(int i=1;i<N;i++){
        for(int j=1;j<=i;j++){
            f[i][j]=f[i-1][j-1]+f[i-1][j];
        }
    }
}
int dp(int n){
    if(n==0)return 0;//为0结束函数
    //创建存储每位的数组
    vector<int> nums;
    //取出每位
    while(n)nums.push_back(n%B),n/=B;
    int res=0;//记录答案
    //记录已经选了多少
    int last=0;
    //从最高位开始遍历
    for(int i=nums.size()-1;i>=0;i--){
      //不一样地方
    }
    return res;
}
int main(){
    init();
    cin >>  l >> r >> K >>B;
    cout<< dp(r) - dp(l-1) <<endl;  
    return 0;
}

后面用3-5道题验证反复验证学习此模板，活学活用

待更新...