动态规划解决0-1背包问题

动态规划解决0-1背包问题

题目详情

给定一个承重量为C的背包，n个重量分别为w1 ,w2 ,…,wn的物品，物品i放入背包能产生pi (>0)的价值(i=1,2,…,n)。 每个物品要么整个放入背包，要么不放。要求找出最大价值的装包方案。

输入格式

输入的第一行包含两个正整数n和C(1≤n≤20)，第二行含n个正整数分别表示n个物品的重量，第三行含n个正整数分别表示n个物品放入背包能产生的价值。

输出格式

在一行内输出结果，包括最大价值装包方案的价值、具体装包方案，用空格隔开。具体装包方案是n个物品的一个子集，用长度为n的0、1串表示（1表示对应物品被选中,0表示没有被选中）。如果这样的0、1串不唯一，取字典序最大的那个串。

输入样例

4 9
2 3 4 5
3 4 5 7

输出样例

12 1110

(注：1110 和0011都是价值最大的装包方案，取字典序最大的结果即为1110）

使用动态规划法解答

n代表n个物品，sizeOfBag代表背包可以装的重量。
构建一个二维数组表格，n+1行，sizeOfBag列。

table(n + 1, vector<int>(sizeOfBag + 1))

用以上的样例来构建的二维数组表格为：

	装0	装1	装2	装3	装4	装5	装6	装7	装8	装9
不装物品	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1号物品	0	0	3	3	3	3	3	3	3	3
2号物品	0	0	3	4	4	7	7	7	7	7
3号物品	0	0	3	4	5	7	8	9	9	12
4号物品	0	0	3	4	5	7	8	10	11	12

for (int i = 0; i <= n; i++) {
		table[i][0] = 0;
	}
	for (int j = 0; j <= sizeOfBag; j++) {
		table[0][j] = 0;
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = 1; j <= sizeOfBag; j++) {
			table[i][j] = table[i - 1][j];
			if (weight[i] <= j)
				table[i][j] = max(table[i][j], table[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
		}
	}

当目前背包重量大于等于该物品的weight时，选择最大价值的填入表格。

构建完该二维数组后，明显发现table[n][sizeOfBag]的值即为最大价值。

接下来，使用回溯法来得到装入背包，得到该最大价值的方案。

	装0	装1	装2	装3	装4	装5	装6	装7	装8	装9
不装物品	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1号物品	0	0	3	3	3	3	3	3	3	3
2号物品	0	0	3	4	4	7	7	7	7	7
3号物品	0	0	3	4	5	7	8	9	9	12
4号物品	0	0	3	4	5	7	8	10	11	12

检测table[i-1][j]是否等于table[i][j]

当table[i-1][j]==table[i][j]，说明第 i 个物品没有被放入背包，输出答案方案的字符串reAns+="0"

当table[i-1][j]！=table[i][j]，说明第 i 个物品被放入了背包中，此时背包的质量要减去第 i 个物品的weight，即reAns+="1"，且下一个回溯到table[i-1][j-weight[i]]

代码如下：

void getReAns(const vv& table, string& reAns, int i, int j) {
	if (table[i][j] == table[i - 1][j]) {	//本题求的是字典序最大的，所以从这条路走
		reAns += "0";
		if (i != 1)		//算法来到第一行即结束
			getReAns(table, reAns, i - 1, j);
		return;		//既然走这条路了又不是要求所有的，就直接结束
	}
	else {		//if (table[i][j] == table[i - 1][j - weight[i]] + value[i]) {
		reAns += "1";
		if (i != 1)
			getReAns(table, reAns, i - 1, j - weight[i]);
	}
}

此时得到的字符串reAns是倒序，使用reverse函数可以直接在原字符串上改变顺序，且无返回值

reverse(reAns.begin(), reAns.end());

完整代码

#include<iostream>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef vector<vector<int> > vv;  
int n, sizeOfBag;
vector<int> weight, value;

void fillTable(vv& table) {
	for (int i = 0; i <= n; i++) {
		table[i][0] = 0;
	}
	for (int j = 0; j <= sizeOfBag; j++) {
		table[0][j] = 0;
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = 1; j <= sizeOfBag; j++) {
			table[i][j] = table[i - 1][j];
			if (weight[i] <= j)
				table[i][j] = max(table[i][j], table[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
		}
	}
}

void getReAns(const vv& table, string& reAns, int i, int j) {
	if (table[i][j] == table[i - 1][j]) {	//本题求的是字典序最大的，所以从这条路走
		reAns += "0";
		if (i != 1)		//算法来到第一行即结束
			getReAns(table, reAns, i - 1, j);
		return;		//既然走这条路了又不是要求所有的，就直接结束
	}
	else {		//if (table[i][j] == table[i - 1][j - weight[i]] + value[i]) {
		reAns += "1";
		if (i != 1)
			getReAns(table, reAns, i - 1, j - weight[i]);
	}
}

int main() {
	cin >> n >> sizeOfBag;
	int tmp;
	weight.push_back(0);//填充0位
	value.push_back(0);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cin >> tmp;
		weight.push_back(tmp);
	}
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cin >> tmp;
		value.push_back(tmp);
	}
	vv table(n + 1, vector<int>(sizeOfBag + 1));
	fillTable(table);
	string reAns = "";
	getReAns(table, reAns, n, sizeOfBag);
	reverse(reAns.begin(), reAns.end());
	cout << table[n][sizeOfBag] << ' ' << reAns;
	return 0;
}