HNU算法设计与分析小班之石子合并相关问题

这次小班课我主要讲的是动态规划相关的问题，其中我找了四个题目，它们之间的关系相当密切，代码模板基本一致，因此联系在一起讲。

为了表达方便，这里第i堆石子对应的下标就是i而非i-1。

而对于不相邻的石堆i和j，如果要从石堆i一直合并到石堆j，那么合并成最终的一堆之前必然是相邻两个石堆合并，即有一个石堆k（i≤k＜j），它将石堆（i…j）划分成了石堆（i…k）和石堆（k+1…j）。由最优子结构性质，从石堆i一直合并到石堆j的最小得分也就是合并成石堆（i…k）的最小得分，加上合并成石堆（k+1…j）的最小得分，再加上石堆（i…k）与石堆（k+1…j）合并成石堆（i…j）的得分，所得结果中的最小值即为我们想要的答案。用公式来表示，即：dp[i][j]=min(dp[i][k]+ dp[k+1][j])+两石堆的石子数之和，其中i≤k＜j。

设石堆的石子数为stones[]，因此上面的公式可以进一步写为如下的式子：dp[i][j]=min(dp[i][k]+ dp[k+1][j])+(stones[i]+…+stones[k]+stones[k+1]+…stones[j])， 其中i≤k＜j。

首先，对于最大得分，我们可以用非常相似的步骤解决，唯一需要修改的地方就是初始化和动态规划方程。

从之前的分析我们现在可以很快得到，从石堆i一直合并到石堆j的最大得分等于合并成石堆（i…k）的最大得分，加上合并成石堆（k+1…j）的最大得分，再加上石堆（i…k）与石堆（k+1…j）合并成石堆（i…j）的得分，所得结果中的最大值即为我们想要的答案。

因为获取最小得分和最大得分所需要的dp数组不同，为了加以区分，我们设记录合并最小得分的数组为dpMin，记录合并最大得分的数组为dpMin。

目前，我们已经获得了“n堆石子排成一排时，如何得到合并成一堆的最小得分和最大得分”这一问题的解决思路。然而，题中的n堆石子是绕着一个圆形操场排成一圈的，这又该如何解决呢？

我们以这个输入为例来进行具体分析。

4堆石子排成一排和排成一圈，分别如图所示。

排成一圈时，石堆1~4不仅只有1234的顺序还有2341、3412、4123的顺序，原来的一排数组变成了一个循环数组。

事实上，我们可以把循环数组简化为一个非循环数组，即把排成一圈转化为排成一排，只要在1234后面再加上123，如图所示。

可以看出，这样转化以后，我们只要选连续的n（这里是4）堆石子，即可得到1234、2341、3412、4123这些顺序，与排成一圈完全一致。

到这里，排成一圈这个问题就变得很简单了，只需要先复制元素获得非循环数组，将排成一圈转化为排成一排，再根据排成一排的思路对问题进行解答即可。

复制之后获得的非循环数组有多大呢？假设有n堆石子，实际上只要复制前n-1堆即可得到所有的顺序。如上图，共4堆石子，复制第1、2、3堆即可得到非循环数组1234123，其中包含排成一圈时所有的石堆顺序。因此非循环数组的大小为2n-1。

那么，最终我们的最小得分和最大得分如何得到呢？我们继续以上图为例解释：选连续的n（这里是4）堆石子，可以得到1234、2341、3412、4123这些顺序，这4个顺序对应着4种不同的总合并方法。

①即以第1堆石子为头，第4堆石子为尾的合并方法；②即以第2堆石子为头，第1堆石子为尾的合并方法；③即以第3堆石子为头，第2堆石子为尾的合并方法；④即以第4堆石子为头，第3堆石子为尾的合并方法。通过循环遍历这4种总合并方法对应的dp数组的值，即可得到4种方法各自的最小得分和最大得分，再取四种方法最小得分的最小值以及最大得分的最大值，即可得到最终答案。

设计算A[i:j]，1≤i≤j≤n，所需要的最少数乘次数m[i,j]，则原问题的最优值为m[1,n]。