二进制有趣问题一则

题目

话说，有个国王，嗜酒如命，十天以后马上过生日，派出士兵去各个村庄收集好酒，一个庄园1000瓶酒，庄主不肯上交，在争斗中不慎被士兵杀死，临死之前告诉士兵，1000瓶酒中有1瓶剧毒，喝了以后第10天会暴毙身亡。国王问大臣怎么办，大臣说可以让大牢里的死刑犯试酒，怎么能在试酒的死刑犯最少的情况下试出毒酒？（用二进制的思想解答）

解答

使用二进制编码的方法，最少需要 ​10个犯人 即可在第十天确定哪一瓶是毒酒。具体步骤如下：

1. ​编号转换：将1000瓶酒从0到999编号，并转换为10位二进制数（如第0瓶为0000000000，第5瓶为0000000101，依此类推）。

2. ​犯人分配：每个犯人对应二进制数的一个位（如犯人1对应第0位，犯人2对应第1位，直到第9位）。

3. ​试酒规则：对于每瓶酒，若其二进制编号的某一位为1，则对应的犯人需喝这瓶酒。例如，编号为5（二进制0000000101）的酒，第0位和第2位的犯人需饮用。

4. ​结果判定：第十天后，观察哪些犯人死亡。死亡的犯人对应的二进制位为1，其余为0，组合成的二进制数即为毒酒的编号。例如，若犯人3和犯人10死亡，则毒酒编号为1000000100（即十进制516）。

原理：
10位二进制数可表示 2^10=1024 种状态，足以覆盖1000瓶酒。每个犯人的生死状态提供1位信息（0或1），最终通过二进制组合唯一确定毒酒。这是信息论中的最优解，确保使用的犯人数量最少。