矩阵快速幂 小肥猪

非常经典的一道题：

Problem B: 小肥猪

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Description

有k头小肥猪，你每次要给他们一些饲料，重复n次。

每次给的饲料用m个操作表示：

• 操作1：（1 x）给第x头猪一份饲料；
• 操作2：（2 x y）把第x头猪的饲料给第y头猪（第x头猪就没有饲料了）；
• 操作3：（3 x）把第x头猪的饲料加倍；

给你k、m、n和m个操作，回答操作过后每头猪有多少份饲料。

Input

第1行三个数：k、m、n；
第2~m+1行每行一个操作。

Output

1行m个数：操作后每头猪的饲料个数（模10000）。

Sample Input

3 4 3
1 3
1 2
2 3 1
3 2

Sample Output

3 14 0

HINT

 

【提示】

第一次操作后：1 2 0

第二次操作后：2 6 0

第三次操作后：3 14 0

【数据范围】

对于50%的数据：n≤10^4；

对于100%的数据：k≤10，m≤10，n≤10^10；

 

矩阵的构造是难点：

首先我们需要建立一个整个大操作的矩阵

很容易构造饲料转移和翻倍的矩阵

一是（把1的饲料给3）

         p1        0    0   0

         p2   X   0    1   0

         p3         1    0    1

二是（把1的饲料翻倍）

         p1        2    0   0

         p2   X  0     1   0

         p3        0     0    1

接下来就是加料了：

这里我们需要建立一个虚拟的料槽及假设一个p0=1。

举个例子（给1加料）

         p0        1  0  0  0

         p1        1  1   0  0

         p2   X  0  0   1  0

         p3        0   0  0   1

下面上代码：

 
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define maxn 12
#define tt 10000
using namespace std;
int f[maxn][maxn],ff[maxn][maxn];//ff是整合矩阵，f是初始的猪矩阵；
int ls[maxn][maxn][maxn];//记录分步骤；
int k,m,x,y,z;
long long n;
void mlti(int a[maxn][maxn],int b[maxn][maxn])//矩阵moban；
{ int temp[maxn][maxn];
    for(int i=0;i<=k;i++)
        for(int j=0;j<=k;j++){
            temp[i][j]=0;
            for(int l=0;l<=k;l++)
              temp[i][j]=(temp[i][j]+a[l][j]*b[i][l])%tt;}
                for(int i=0;i<=k;i++)
                    for(int j=0;j<=k;j++)
                        a[i][j]=temp[i][j];
                    }
void make(int x)
{ for(int i=0;i<=k;i++)
    ls[x][i][i]=1;
}
void comb()
{for(int i=2;i<=m;i++)
    mlti(ls[1],ls[i]);
    for(int i=0;i<=k;i++)
        for(int j=0;j<=k;j++)
            ff[i][j]=ls[1][i][j];
        }
int main()
         
{
    cin>>k>>m>>n;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {cin>>x;
      make(i);//建造单位矩阵；
      if(x==1) {cin>>y;
          ls[i][y][0]=1;
      }
      else if(x==2){
          cin>>y>>z;
          ls[i][z][y]=1;
          ls[i][y][y]=0;
      }
      else if(x==3){
          cin>>y;
          ls[i][y][y]=2;
      }
  }
  comb();//把所以分步骤整合，因为矩阵满足a*b*c=a*(b*c);
  f[0][0]=1;
  while(n>0)//快速幂moban；
  {if(n&1) mlti(f,ff);
      mlti(ff,ff);
      n>>=1;
  }
  for(int i=1;i<=k;i++)
  cout<<f[i][0]<<" ";
return 0;
}