hrbustOJ 2372：小L的问题（矩阵快速幂 dp）

最新推荐文章于 2022-11-08 19:51:55 发布

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本文介绍了一个关于使用1×2矩形骨牌和3格L型骨牌覆盖2×n棋盘的问题，通过矩阵快速幂的方法解决大规模数据集下的计数问题。输入包含多组测试数据，输出每组数据对应的覆盖方案数。

小L的问题

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Description

小L是一个可爱的女孩，她特别喜欢玩多米诺骨牌。有一天她得到了一个宽度为2长度为n的棋盘。她现在有1*2大小的矩形骨牌和3格大小的L型骨牌（L型骨牌的样式参考Hint）。她发现有很多种方式可以让这个棋盘完全覆盖，她想知道对于每一个2*n大小的棋盘，用这两种骨牌完全覆盖的方案数。这个数字可能很大，所以答案需要模1000000007.

Input

输入数据第一行为T，代表数据组数。
接下来的T行中，每一行只有一个数字n，n为不超过1e18的正整数，代表棋盘的长度。

Output

输出T行，每行为对应n的答案。

Sample Input

1
2

Sample Output

2

Hint

L型骨牌如上图所示。

Source

"科林明伦杯"哈尔滨理工大学第八届程序设计竞赛

思路：1e18的范围考虑矩阵快速幂，显然有dp[i] = dp[i-1]+dp[i-2]+2*(dp[i-3]+dp[i-4]+...+dp[0])。

# include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod = 1e9+7;
struct Mat{ll mat[3][3];};
Mat operator*(Mat a, Mat b)
{
    Mat c;
    for(int i=0; i<3; ++i)
    {
        for(int j=0; j<3; ++j)
        {
            c.mat[i][j] = 0;
            for(int k=0; k<3; ++k)
            {
                c.mat[i][j] += (a.mat[i][k]*b.mat[k][j])%mod;
                c.mat[i][j] %= mod;
            }
        }
    }
    return c;
}
Mat operator ^(Mat a, ll b)
{
    Mat c;
    for(int i=0; i<3; ++i)
        for(int j=0; j<3; ++j) c.mat[i][j]=(i==j);
    for(;b;b>>=1)
    {
        if(b&1) c=c*a;
        a=a*a;
    }
    return c;
}
int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        ll n;
        scanf("%lld",&n);
        if(n==1)
        {
            puts("1");
            continue;
        }
        if(n==2)
        {
            puts("2");
            continue;
        }
        Mat a, b;
        for(int i=0; i<3; ++i)
            for(int j=0; j<3; ++j) b.mat[i][j]=a.mat[i][j]=0;
        a.mat[0][0]=2;
        a.mat[0][1]=a.mat[0][2]=1;
        b.mat[0][0] = b.mat[0][1]=b.mat[1][2]=b.mat[2][2]=b.mat[1][0]=1;
        b.mat[2][0]=2;
        b = b^(n-2);
        a=a*b;
        printf("%lld\n",a.mat[0][0]);
    }
    return 0;
}