最小生成树（Prim和Kruskal）

最新推荐文章于 2025-12-05 20:03:22 发布

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本文介绍了Prim算法利用优先队列进行优化，达到O(mlogm)的时间复杂度，并提供了链式前向星的代码示例。同时，展示了Kruskal算法通过并查集实现的O(mlogm)复杂度，以及并查集中路径压缩的技巧。两种经典算法在求解无向图最小生成树的应用和优化策略被详细解析。

引入

例题：（洛谷 P3366 【模板】最小生成树）

给出一个无向图，求出最小生成树，如果该图不连通，则输出 orz。

Prim

这个东西我不写了。。。我只说说我最近研究抄袭的最新成果：Prim可以使用优先队列优化，能够达到 $O (m l o g m)$ 的优秀复杂度。

代码（链式前向星+优先队列优化）：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
using namespace std;
struct st
{
	int to;
	int dis;
	int nxt;
}
edge[400010];
int head[5010],size;
void add(int from,int to,int dis)
{
	edge[++size].nxt=head[from];
	edge[size].to=to;
	edge[size].dis=dis;
	head[from]=size;
}
void init()
{
	memset(edge,-1,sizeof(edge));
	memset(head,-1,sizeof(head));
}
int n,m,ans,tot;
int u,v,w;
int dis[5010];
bool b[5010];
struct node
{
	int dis,d;
	bool operator < (const node &x)const
	{
		return x.dis<dis;
	}
};
void prim()
{
	for(int i=1;i<=n;i++)
		dis[i]=0x3f3f3f3f;
	priority_queue<node> q;
	dis[1]=0;
	q.push((node){0,1});
	while(!q.empty()&&tot<=n-1)
	{
		node t=q.top();
		q.pop();
		u=t.d;
		if(b[u])
			continue;
		tot++;
		ans+=t.dis;
		b[u]=1;
		for(int i=head[u];~i;i=edge[i].nxt)
		{
			v=edge[i].to,w=edge[i].dis;
			if(w<dis[v])
			{
				dis[v]=w;
				q.push((node){dis[v],v});
			}
		}
	}
}
int main()
{
	init();
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
		add(u,v,w);
		add(v,u,w);
	}
	prim();
	if(tot<n-1)
		printf("orz");
	else
	printf("%d",ans);
	return 0;
}

Kruskal

采用并查集实现，复杂度为 $O (m l o g m)$ 。复杂度的主要瓶颈在于快速排序，但是还是建议对并查集进行优化。

代码（并查集+路径压缩）：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define MAXN 5010
#define MAXM 200010
using namespace std;
int n,m,tot,ans;
int u,v,w;
struct st
{
	int from;
	int to;
	int dis;
}
edge[MAXM*2];
bool cmp(st a,st b)
{
	return a.dis<b.dis;
}
int f[MAXN];
int root(int x)
{
	if(f[x]==x)
		return x;
	f[x]=root(f[x]);
	return f[x];
}
void join(int x,int y)
{
	int r1=root(x),r2=root(y);
	if(r1!=r2)
		f[r1]=r2;
}
void kruskal()
{
	sort(edge+1,edge+m+1,cmp);
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		u=root(edge[i].from),v=root(edge[i].to);
		if(u==v)
			continue;
		ans+=edge[i].dis;
		join(u,v);
		if(++tot==n-1)
			break;
	}
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=m;i++)
		scanf("%d%d%d",&edge[i].from,&edge[i].to,&edge[i].dis);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		f[i]=i;
	kruskal();
	if(tot!=n-1)
		printf("orz\n");
	else
		printf("%d",ans);
	return 0;
}