动态规划 01背包

01背包 无非是物品是拿还是不拿的问题

例
有四件物品，背包的总容量是8，如何装可以使背包中的物品总价值最大

物品编号    1   2   3   4
物品重量    2   3   4   5
物品价值    3   4   5   8

将该题抽象为函数f(x, y)，表示当前的价值，则本题为 f(k, w) k为物品数，w为背包的总容量，故本题实际上是求解 f(4, 8) 的最大值
对任意一件物品，可拿，可不拿，则对该物品进行分类讨论，这里对第四件物品进行分析
拿第四件物品，问题转换为，求解 f(4 - 1, 8 - 5) + 8，即 f(3, 3)，问题转变为，求解背包容量为3时，从前三件物品中选出的最大价值
不拿第四件物品，问题转换为，求解 f(4 - 1, 8)，即 f(3, 8)，问题转变为，求解背包容量为8时，从前三件物品中选出的最大价值
再对上述问题进行递归讨论，可以得到下面这一棵递归树(√ 表示选该物品，× 表示不选该物品)

因此，本题的状态转移方程为 f(k, w) = max(f(k - 1, w - wk) + vk, f(k - 1, w));
其中 wk表示当前物品的重量，vk表示当前物品的价值
对上述过程建表，横坐标表示当前背包剩余的容量，纵坐标表示当前正在选择的物品

对f(1, 2)进行讨论，若拿，f(1, 2) 转化为 f(0, 0) + 3，若不拿，f(1, 2) 转化为 f(0, 2)
选两个里面的最大值，为3，继续按照这个步骤填表

对f(2, 5)进行讨论，若拿，f(2, 5) 转化为 f(1, 2) + 4，若不拿，f(2, 5) 转化为 f(1, 5)
根据表可查，f(1, 2) = 3，f(1, 5) = 3，因此，f(2, 5) = max(3 + 4, 3) = max(7, 3) = 7

将上述过程改写为伪代码形式
设物品重量数组为w[i]，价格数组为v[i]

for (int i = 1; i <= 待选物品下标; i++) {
    for (int j = 1; j <= 当前背包的剩余容量; j++) {
        // j - w[i] 为背包剩余重量减物品重量，大于等于0表示背包是否可以装得下，装得下才考虑要不要装这件物品，否则直接跳过该物品(相当于不装这件物品，f(i, j) = f(i - 1, j))
        f(i, j) = j - w[i] >= 0 ? max(f(i - 1, j - w[i]) + v[i], f(i - 1, j)) : f(i - 1, j);
    }
}

可以看到，对于第i行，递推公式f(i, j)只跟 f(i - 1, j) 和 f(i - 1, j - w[i]) + v[i] 的i - 1行数据有关，与当前行无关。因此，对于当前的第i行，j从前往后遍历，或从后往前遍历，效果完全相同。
下面给出对n件物品可选的从后往前遍历的代码(仅仅是将上面从前往后的遍历方向反转)

for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = 当前背包的剩余容量; j > 0; j--) {
        f(i, j) = j - w[i] >= 0 ? max(f(i - 1, j - w[i]) + v[i], f(i - 1, j)) : f(i - 1, j);
    }
}