C++动态规划01背包问题

1.问题描述

2. 二维数组解法

 2.1 思路分析

  首先，分析题目，准备所需数据：

#define MAX0 101
int n,w;   //n表示物品重量，w表示背包容量
int weght[MAX0]={0};   //物品重量
int value[MAX0]={0};   //物品价值
int dp[MAX0][MAX0]={0};

  然后，确定选用的子问题，明确dp[][]数组的含义

  本题目中，采用二维dp[][]数组，dp[i][j]的含义为 从前 i 件物品中任意取，放入容量为 j 的 背包中时，最大价值总和。

2.2 确定边界，初始化dp数组

  从dp数组的定义出发，若 i 为0，则表示从前0件物品中任意选择放入背包，就是说不放入物品，所以总价值为0，dp[0][j]=0; 若 j 为0，则表示背包容量为0，无法放入物品，所以总价值也为0，dp[i][0]=0。即二维数组dp[][]的第一行和第一列都为0。

2.3 确定状态转移方程

（状态转移方程其实也可以理解为就是数学数列中的递推方程）

  对于第 i 件物品，总有下图处理：

所以状态转移方程为：

dp[i][j]=dp[i-1][j];
dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weght[i]]+value[i]);

 2.4源码

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

#define MAX0 101
int n,w;
int weght[MAX0]={0},value[MAX0]={0},dp[MAX0][MAX0]={0};

int main()
{
	   //确定边界，初始化数组。
	
	cin>>w>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>weght[i]>>value[i];
	}
	
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=w;j++)
		{
			if(weght[i]>j)   //判断背包容量是否足够放入 第i件物品。
			{
				dp[i][j]=dp[i-1][j];
			}
			else    
			{
				dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weght[i]]+value[i]);   //选择是否将第i件物品放入背包。
			}
		}
	}
	
	cout<<dp[n][w];
	
	return 0;
}

3.一维数组解法

3.1思路分析

  此方法也叫滚动数组法，DP的状态方程通常是二维和二维以上的，会占用很多空间。使用滚动数组可以大大减少占用空间。

  从二维的状态转移方程 可以看出，dp[i][]只与dp[i-1][ ]有关，与前面的dp[i-2][ ]和dp[i-3][ ]都没有关系。由此看来前面的那些用过的数组就变得有些多余了，所以就可以重新使用这些空间，使用新的一组数据去覆盖上一组数据，让数组进行自我滚动。这样，使用一个一维dp[ ]数组就可以了。

  数据准备只需更改dp数组即可。

#define MAX0 101
int n,w;   //n表示物品重量，w表示背包容量
int weght[MAX0]={0};   //物品重量
int value[MAX0]={0};   //物品价值
int dp[MAX0]={0};

3.2 确定边界，初始化dp数组

  当 j 为0时，背包容量为0，无法放入物品。dp[0]=0 。

3.3 确定状态转移方程

  与二维相比，只是将数组参数 i 去掉。

  对于第 i 件物品，依然总有下图处理：

  

 3.4 更改遍历顺序

改使用滚动数组后，遍历顺序要发生相应改变。

外层循环，即对物品的循环顺序无需改变。

内层循环需要从后向前遍历。

图中用箭头标注了部分dp[][]数组的值是由上一层的哪个数据推出的。分析可知，总是要由上面一行的左边数据来推出下面一行右边的数据。

当改为一维数组时，下面一行的数据会将上面一行中对应位置的数据覆盖。

 如果从前向后遍历，下面一行的数据就会将上面一行的数据覆盖，就会造成下面一行的一些数据计算时使用的不是上面一行的数据 。就可能导致出现错误。

而从后向前遍历则不会出现这种情况。下面一行右边的数据总是要由上面一行的左边数据来推出，当下面一行右边的推出之后，上面一行右边的数据就没用了，即使被覆盖也不会有影响。

3.5源码

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

#define MAX0 101
int n,w;
int weght[MAX0]={0},value[MAX0]={0},dp[MAX0]={0};

int main()
{
	   //确定边界，初始化数组。
	
	cin>>w>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>weght[i]>>value[i];
	}
	
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=w;j>=1;j--)
		{
			if(weght[i]>j)   //判断背包容量是否足够放入 第i件物品。
			{
				dp[j]=dp[j];
			}
			else    
			{
				dp[j]=max(dp[j],dp[j-weght[i]]+value[i]);   //选择是否将第i件物品放入背包。
			}
		}
	}
	
	cout<<dp[w];
	
	return 0;
}

3.6一点小改动

  可以将第二层循环的结束条件改为 j>=weght[i] ，这样循环体内就不需要判断物品 i 的重量是否小于当前背包的容量了。

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

#define MAX0 101
int n,w;
int weght[MAX0]={0},value[MAX0]={0},dp[MAX0]={0};

int main()
{
	cin>>w>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>weght[i]>>value[i];
	}
	
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=w;j>=weght[i];j--)
		{  
			
			dp[j]=max(dp[j],dp[j-weght[i]]+value[i]);   //选择是否将第i件物品放入背包。
			
		}
	}
	
	cout<<dp[w];
	
	return 0;
}

如有不足，欢迎指正！