[bzoj4916] 神犇和蒟蒻

最新推荐文章于 2021-01-31 19:12:24 发布

WorldWide_D

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分类专栏：数论

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本文介绍了一种使用杜教筛法求解包含莫比乌斯函数和欧拉函数的数学问题的方法。通过分析两个特定的数学表达式，文章详细解释了如何利用该方法高效计算出其值。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

分析

首先看第一个式子，根据莫比乌斯函数的性质可知，当i=1时， $\mu(i)=1$ ，其它都是0.所以输出1

然后看第二个式子。根据欧拉函数的性质，平方的部分多出来的质因数已经出现过，所以式子变成 $\sum_{i=1}^n i\phi(i)$ 。这个用杜教筛来求。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <map>

using namespace std;

const int N=1e6+5,mo=1e9+7,Inv=166666668;

typedef long long LL;

int n,tot,p[N],phi[N],s[N];

bool bz[N];

map <int,int> h;

int calc(int n)
{
    if (n<N) return s[n];
    if (h[n]>0) return h[n];
    int ans=(LL)n*(n+1)%mo*(2*n+1)%mo*Inv%mo,la=1;
    for (int i=2,j;i<=n;i=j+1)
    {
        j=n/(n/i);
        int x=(LL)(j+1)*j/2%mo;
        ans=(ans-(LL)(x-la)*calc(n/i))%mo;
        la=x;
    }
    if (ans<0) ans+=mo;
    return h[n]=ans;
}

int main()
{
    phi[1]=s[1]=1;
    for (int i=2;i<N;i++)
    {
        if (!bz[i]) p[tot++]=i,phi[i]=i-1;
        s[i]=(s[i-1]+(LL)i*phi[i])%mo;
        for (int j=0;j<tot && i*p[j]<N;j++)
        {
            bz[i*p[j]]=1;
            if (i%p[j]==0)
            {
                phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j];
                break;
            }
            phi[i*p[j]]=phi[i]*(p[j]-1);
        }
    }
    scanf("%d",&n);
    printf("1\n%d\n",calc(n));
    return 0;
}