[51nod1375]再选数

计数问题与莫比乌斯反演

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本文探讨了一种计数问题，即从给定的正整数集合中选取若干个数使得这些数的最大公约数为1，并计算所有可能的选择方案数。通过使用莫比乌斯反演的方法来解决此问题，给出了详细的算法实现。

题目大意

有n个正整数，你可以从中选出k个数（k是给定的，如果k=-1则要选择至少一个），使它们的gcd=1。求方案数模998244353的值。

n≤100000 每个数≤1000000

分析

数的范围不是很大，可以考虑从中入手。
设f(d)为选择的数gcd为d的答案，g(d)表示gcd是d的倍数的答案。显然有g(d)= $\sum f(kd)$
看到这里想到了什么？！

f (d) = \sum i = 1 10 6 d g (i d) * μ i

$f(d)=\sum_{i=1}^{\frac{10^6}{d}} g(id)*\mu i$
答案就是f(1)，剩下的是预处理g数组。
考虑k=-1的情况，假设有s(d)个数是d的倍数，那么

g(d)=2s(d)−1 $g(d)=2^{s(d)}-1$
k≠-1时，

g(d)=Cks(d) $g(d)=C_{s(d)}^{k}$
对读入的数根号复杂度枚举它的约数，然后统计答案是线性的。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int M=1000000,mo=998244353;

typedef long long LL;

int n,k,tot,pr[M+5],cnt[M+5],ans,Fac[M],Inv[M],Fac_Inv[M],P[M+5],mu[M+5];

bool bz[M+5];

char c;

int read()
{
    for (c=getchar();c<'0' || c>'9';c=getchar());
    int x=c-48;
    for (c=getchar();c>='0' && c<='9';c=getchar()) x=x*10+c-48;
    return x;
}

void init()
{
    mu[1]=1;
    for (int i=2;i<=M;i++)
    {
        if (!bz[i])
        {
            pr[tot++]=i; mu[i]=-1;
        }
        for (int j=0;j<tot;j++)
        {
            int I=i*pr[j];
            if (I>M) break;
            bz[I]=1;
            if (i%pr[j]==0)
            {
                mu[I]=0; break;
            }
            mu[I]=-mu[i];
        }
    }
}

int C(int n,int m)
{
    return (LL)Fac[n]*Fac_Inv[m]%mo*Fac_Inv[n-m]%mo;
}

int main()
{
    init();
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        int x=read(),j;
        for (j=1;j*j<x;j++) if (x%j==0)
        {
            cnt[j]++; cnt[x/j]++;
        }
        if (j*j==x) cnt[j]++;
    }
    if (k==-1)
    {
        P[0]=1;
        for (int i=1;i<=n;i++) P[i]=P[i-1]*2%mo;
        for (int i=1;i<=M;i++)
        {
            ans=(ans+mu[i]*(P[cnt[i]]-1))%mo;
        }
        ans=(ans+mo)%mo;
        printf("%d\n",ans);
        return 0;
    }
    Fac[0]=Fac[1]=Fac_Inv[0]=Fac_Inv[1]=Inv[1]=1;
    for (int i=2;i<=n;i++)
    {
        Fac[i]=(LL)Fac[i-1]*i%mo;
        Inv[i]=(LL)Inv[mo%i]*(mo-mo/i)%mo;
        Fac_Inv[i]=(LL)Fac_Inv[i-1]*Inv[i]%mo;
    }
    for (int i=1;i<=M;i++) if (cnt[i]>=k)
    {
        ans=(ans+mu[i]*C(cnt[i],k))%mo;
    }
    ans=(ans+mo)%mo;
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}