[NOI2010/bzoj2006]超级钢琴

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本文介绍了一种解决特定区间和问题的方法，通过预处理前缀和及使用数据结构查询静态区间第k大值来实现。该算法的时间复杂度为O(nlogn)，适用于求解给定序列中长度在指定范围内的连续子序列区间和前k大的和。

题目大意

给定n个数的序列，求长度在L,R之间的连续子序列中，区间和前k大的和。

n,k≤500000，-1000≤ai≤1000

分析

首先求出前缀和，那么区间和变成两个数的差。
假设当前要求第i大，对于每个区间的l，都有一个数now[l]，表示对于这个l，在对应长度范围内（即区间[l,r]长度在给定范围内），前now[l]-1大的区间和已经是前i-1大的区间和。然后对于每个l的第now[l]大的区间和，把它们放进一个堆里面，然后每次取出最大值，把对应l的now加1，再把现在的第now[l]大的数放进堆里。
所以还需要一个数据结构查询静态区间第k大。

时间复杂度 $O(nlogn)$

代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

#define fi first
#define se second

using namespace std;

const int maxn=500005,maxm=20000005,N=500000000;

typedef long long LL;

typedef pair<int,int> PII;

int n,m,l,r,root[maxn],left[maxm],right[maxm],sum[maxm],tot,now[maxn],a[maxn],pre[maxn],cnt[maxn];

LL ans;

PII heap[maxn];

void insert(int l,int r,int g,int &x,int y)
{
    x=++tot;
    sum[x]=sum[y]+1;
    if (l==r) return;
    left[x]=left[y]; right[x]=right[y];
    int mid=l+r>>1;
    if (g<=mid) insert(l,mid,g,left[x],left[y]);else insert(mid+1,r,g,right[x],right[y]);
}

int get(int l,int r,int rank,int x,int y)
{
    if (l==r) return l;
    int mid=l+r>>1;
    if (sum[right[x]]-sum[right[y]]>=rank) return get(mid+1,r,rank,right[x],right[y]);
    return get(l,mid,rank-sum[right[x]]+sum[right[y]],left[x],left[y]);
}

void up(int x)
{
    for (;x>1 && heap[x>>1].fi<heap[x].fi;x/=2)
    {
        heap[0]=heap[x>>1]; heap[x>>1]=heap[x]; heap[x]=heap[0];
    }
}

void down()
{
    int i,son;
    for (i=1;i+i<=tot;i=son)
    {
        son=(i+i==tot || heap[i<<1].fi>heap[(i<<1)+1].fi)?i<<1:(i<<1)+1;
        if (heap[i].fi>heap[son].fi) break;
        heap[0]=heap[i]; heap[i]=heap[son]; heap[son]=heap[0];
    }
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&l,&r);
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&a[i]);
        pre[i]=pre[i-1]+a[i];
        insert(0,N+N,pre[i]+N,root[i],root[i-1]);
    }
    tot=0;
    for (int i=1;i+l-1<=n;i++)
    {
        now[i]=1;
        cnt[i]=min(r-l+1,n-i-l+2);
        heap[++tot].fi=get(0,N+N,1,root[i+l+cnt[i]-2],root[i+l-2])-N-pre[i-1];
        heap[tot].se=i;
        up(tot);
    }
    ans=0;
    while (m--)
    {
        ans+=heap[1].fi;
        int x=heap[1].se;
        heap[1]=heap[tot--];
        down();
        now[x]++;
        if (now[x]>cnt[x]) continue;
        heap[++tot].fi=get(0,N+N,now[x],root[x+l+cnt[x]-2],root[x+l-2])-N-pre[x-1];
        heap[tot].se=x;
        up(tot);
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}