一维坐标系中最短距离计算-优快云博客

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该博客讨论了一道HNOI模拟题，涉及一维坐标系中n个点的最短路径问题。初始思路是通过单源最短路解决，但因数据规模大可能导致超时。50分算法采用O(n^2)的BFS，而满分算法则利用排序和数据结构（如线段树和单调队列）优化，将时间复杂度降低到O(nlog2n)，以适应n=250000的情况。

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题目大意

给出一维坐标系上的n个点，和n个点所代表的区间，其中第一个点坐标为0。对于任意两个点，右边的点可以到达左边（包括坐标相同）当且仅当满足它们代表的区间有重合且距离不超过一个给出的值L。求编号2——n的点到第一个点的最短距离。无法到达输出-1

对于50%的数据，3≤n≤20000；

对于100%的数据，1≤n≤250000，0≤xi,yi,li≤2000000000，1≤l≤2000000000，xi≤yi

最初的思路

在1右边的点到达1，也相当于从1出发到其它的点。所以跑个单源最短路是可行的，但是数据范围较大，加上两点连边的数量也可能很大，所以最短路会超时。

50分算法

这道题时间限制比较宽，所以O(n^2)的单源最短路是可以过掉的。对当前的点枚举其它点，判断区间是否重合即可。因为两点之间的距离为1，我们可以直接打个bfs，设 $dis[i]$ 为1到i的最短距离，转移方程显然

满分算法

n达到250000的情况，bfs会超时。这时我们考虑用数据结构来维护区间。
那么我们可以给区间以li为关键字排序，然后进行插入、查询、删除。
考虑两个问题：
1. 如何用数据结构插入并查询区间；
2. 如何用数据结构删除一个区间；

如果枚举的区间的坐标是从小到大的，那么显然，它们的答案也是不递减的，所以对于线段树的每个节点都开个单调队列来维护最小值，删除时直接删掉队首。
对于一个 $1..n$ 的范围，在线段树中插入、询问、删除一个区间 $l..r$ ，区间 $l..r$ 最多会被分成 $log(n)$ 块。所以单调对列的总大小不会太大。