读《微波工程(第三版)》笔记 (3：介质中的边界条件)

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已于 2022-10-11 20:05:32 修改 · 3.9k 阅读

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于 2022-10-11 11:42:46 首次发布

本文探讨了在特定边界条件下，如何求解麦克斯韦方程组以获取电位移矢量、磁感应强度等物理量的具体表达式。通过分析不同介质间的分界面，详细阐述了法向和切向场的连续性和不连续性的数学描述。

求解微分形式的麦克斯韦方程组(详见笔记1) ，必须已知边界上的值时，才能有完整切唯一的解。

常用的方法是：在一定的区域求解无源麦克斯韦方程组获得带有未知系数的通解，再利用边界条件来求得这些系数

我的理解：麦克斯韦方程组+边界条件=特解

目录

一般材料分界面上的场

电位移矢量

磁感应强度

介质分界面的场

理想导体（电壁）分界面的场

磁壁边界条件

一般材料分界面上的场

分析模型

考虑两种媒质之间的平面界面，如图3.1所示：

图 3.1

其中，两个介质内的场和分界面上的场都用颜色进行了区分。

利用积分形式的麦克斯韦方程组来推导分界面上的的法向、切向场的边界条件。

我们可以选取如图3.2所示的闭合高斯曲面作为分析工具，主要用来分析电位移矢量和磁感应强度。它是一个圆柱面，上下底面横跨两种媒质，并且要求高度h->0。

图 3.2

分析磁场、电场时，可以使用图3.3

图 3.3（这里有点小错误，别管两个磁感应强度）

电位移矢量

电位移矢量满足高斯定理：

$\oint _{S}\overrightarrow{D}\cdot d\overrightarrow{s}=\int _{V}\rho d\nu=Q$

由于高度h趋于0，此时圆柱侧面的电位移通量贡献为0，可以简化为：

$\begin{} {\color{black} \Delta S\cdot D_{n2} - \Delta S\cdot D_{n1} = \Delta S\cdot \rho_{s}} \\\\ D_{n2}-D_{n1}=\rho_{s} \end{}$

如果写成矢量形式，则为：

$\widehat{n}\cdot (\overrightarrow{D_{2}}-\overrightarrow{D_{1}})=\rho_{s}$

也就是：电位移矢量在边界上法向不连续，数值相差为分界面上的面电荷密度。

磁感应强度

同样地，将磁通连续性方程的积分形式

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